Question

已知一元二次方程a（b-c）x∧2+b(c-a)x+c(a-b)=0 有两个相等的根，求证 1/a,1/b,1/c成等差数列

“∧”为二次方

Answer 1

解： a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0 有两个相等的“实根”，则首项系数不为0（a≠0，b≠c），且则判别式Δ=0，
即b^2*(c-a)^2-4*a(b-c)*c(a-b)=0，
b^2*(c-a)^2-4*a(b-c)*c(a-b)=b^2*(c-a)^2+4*ac(b-c)(b-a)=b^2*(c-a)^2+4*ac(b^2-(a+c)*b+ac)
=b^2*[(c-a)^2+4*ac]-4*ac*(a+c)*b+4*a^2*c^2=b^2*(c+a)^2-4*ac*(a+c)*b+4*a^2*c^2
=[b*(c+a)-2ac]^2，
因为Δ=0，所以[b*(c+a)-2ac]^2=0，b*(c+a)-2ac=0，
b*(c+a)=2ac， …………………………①
因为a≠0，若b=0，则c=0，导致b=c，这与b≠c矛盾，所以b≠0。
同理c≠0。
①式两边同时除以abc得，1/a+1/c=2/b。
证毕。

Answer 2

请问^是什么意思……