Question

求不定积分 [arccosx/√(1-x)]dx 求过程 答案是 [-2√(1-x)]arccosx-4√(1+x)+c 谢谢诶

Answer 1

√(1-x)=u
1-x=u^2
dx=-2u*du
∫[arccosx/√(1-x)]dx=
∫arccos(u^2-1)/u*(-2u*du)=
-∫arccos(u^2-1) du=
这里部分积分:
∫du=u,arccos(u^2-1)'=-(2 u)/sqrt(-u^2 (u^2-2))
-u*arccos(u^2-1)-∫(2 u)/sqrt(-u^2 (u^2-2))*u du
=-u*arccos(u^2-1)-∫2u/sqrt(2-u^2) du
=-u*arccos(u^2-1)-{-(2 sqrt(-u^2 (u^2-2)))/u+C}
最后将√(1-x)=u替换得
-(2 (2 sqrt(1-x^2)-x cos^(-1)(x)+cos^(-1)(x)))/sqrt(1-x)+C=
(-4 sqrt[1 - x^2])/sqrt[1 - x] - (2 arccos[x])/sqrt[1 - x] + (2 x arccos[x])/sqrt[1 - x]
楼主你的答案对吗？

追问

我这个是书上的答案
∫[arccosx/√(1-x)]dx
=-∫2arccosxd√(1-x)
=-2√(1-x)arccosx-∫√(1-x)darccos
=-2√(1-x)arccosx+∫[√(1-x)/√(1-x^2)]dx(左边已经出来了，右边是不是可以这样）

接下来我就不会了

追答

∫[√(1-x)/√(1-x^2)]dx=
∫1/sqrt(1+x) dx=2*(1+x)^(1/2)+C
看来咱们的答案一样，
-2√(1-x)arccosx-2∫[√(1-x)/√(1-x^2)]dx=
-2√(1-x)arccosx-4*(1+x)^(1/2)+C

(-4 sqrt[1 - x^2])/sqrt[1 - x] - (2 arccos[x])/sqrt[1 - x] + (2 x arccos[x])/sqrt[1 - x]+C=
-4*(1+x)^(1/2)-2arccos[x]*{(1-x)/√(1-x)}+C=
-4*(1+x)^(1/2)-2arccos[x]*(1-x)^(1/2)+C