在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A-C=60°，求sinB的值

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#合辑# 机票是越早买越便宜吗？

靖阿9
2011-07-31

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根据正弦定理 a/sinA＝b/sinB＝c/sinC
得：a＝（sinA/sinB）*b c＝（sinC/sinB)*b
将其带入已知条件 a+c＝2b中
可得sinA+sinC＝2sinB
根据三角函数和公式
sinA+sinC＝2sin[(A+C)/2] * cos[(A-C)/2]
∴A+B+C=∏
∵sin[(A+C)/2]＝sin[(∏－B)/2]＝sin（∏/2－B/2)＝cos（B/2)
∴A-C＝60°
∵cos[(A-C)/2]＝cos30°＝（√3）/2
∵sinA+sinC＝√3*cos（B/2)＝2sinB
根据倍角公式 sinB＝2sin（B/2)cos（B/2)
√3*cos（B/2)＝4sin（B/2)cos（B/2)
sin（B/2)＝（√3）/4
cos（B/2)＝√（1-(（√3）/4)^2)
=（√13）/4
sinB＝2sin（B/2)cos（B/2)=（√39）/8

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追问

sinA+sinC＝2sin[(A+C)/2] * cos[(A-C)/2]
问下啊~这步是怎么出来的？

追答

sin(A + B) + sin(A - B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) + sin(A)cos(B)
                          - cos(A)sin(B)
                        = 2sin(A)cos(B) ……………………………… ①

令A = (a + c)/2， B = (a - c)/2 则:
sin(A + B) + sin(A - B) = sin[(a + c)/2 + (a - c)/2]
                          + sin[(a + c)/2 - (a - c)/2]
                        = sin(a) + sin(c);
2sin(A)cos(B) = 2sin[(a + c)/2] * cos[(a - c)/2]

由①得 sin(a) + sin(c) = 2sin[(a + c)/2] * cos[(a - c)/2]

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在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A-C=60°，求sinB的值

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