Question

已知函数f(x)=ln(2+3x) - 3x^2/2

1、求f(x)在[0，1]上的极值 2、若对任意x∈[1/6,1/3],不等式|a - lnx|+ln[f'(x) + 3x] > 0成立，求实数a的取值范围 3、若关于x的方程f(x)= -2x + b在[0,1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围
（详解，在线等，主要是第二问和第三问。）

Answer 1

已知函数f(x)=ln(2+3x) - 3x^2/2，
（1）、求f(x)在[0, 1]上的极值；
（2）、若对任意x∈[1/6, 1/3]，不等式|a - ln x|+ln[f'(x) + 3x] > 0成立，求实数a的取值范围；
（3）、若关于x的方程f(x)= -2x + b在[0, 1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围 。

解：
（1）f'(x)=1/(2+3x)-3x，f''(x)=-3/(2+3x)^2-3<0，
令f'(x)=0得：x=(-1±√2)/3，其中(√2-1)/3∈[0, 1]，因为f''(x)<0，故f(x)在x=(√2-1)/3处取得极大值f((√2-1)/3)=ln[1/(2+√2-1)]-3/2*[(√2-1)/3]^2=ln(√2-1)-1/2+√2/3。

（2）x∈[1/6, 1/3]，
|a - ln x|+ln[f'(x) + 3x]
=|a - ln x|+ln[1/(2+3x)]
=|a - ln x|-ln(2+3x)
|a - ln x|+ln[f'(x) + 3x]> 0（∀x∈[1/6, 1/3]）
<=> |a - ln x|-ln(2+3x)>0
<=> |a - ln x|>ln(2+3x)
<=> a - ln x>ln(2+3x) （∀x∈[1/6, 1/3]）或 ln x-a >ln(2+3x) （∀x∈[1/6, 1/3]）
<=> a >ln x+ln(2+3x) （∀x∈[1/6, 1/3]）或 a<ln x- ln(2+3x) （∀x∈[1/6, 1/3]）
<=> a >ln (2x+3x^2) （∀x∈[1/6, 1/3]）或 a<ln [x/(2+3x)] （∀x∈[1/6, 1/3]）
（在区间上[1/6, 1/3]，2x+3x^2=3*(x+1/3)^2-1/3，在x=1/3时取最大值1；x/(2+3x)=1/[2/x+3]在x=1/6时取最小值1/15。）
<=> a >ln 1 或 a<ln [1/15]
<=> a >0 或 a<-ln 15，
实数a的取值范围(-∞, -ln 15)∪(0, ∞)。

（3）f(x)= -2x + b
<=> ln(2+3x) - 3x^2/2= -2x + b
<=> ln(2+3x) -3x^2/2 +2x - b=0
设g(x)=ln(2+3x) -3x^2/2 +2x - b，
则g'(x)=1/(2/3+x)-3x+2，
g''(x)=-1/(2/3+x)^2-3<0，
令g'(x)=0得，x=±√7/3，其中x0=√7/3∈[0, 1]，g(x)在x0处取得极大值。
因为g''(x)<0，
故在区间[0, √7/3)上，g'(x)>g'(x0)=0，g(x)在该区间上递增；
在区间(√7/3, 1]上，g'(x)<g'(x0)=0，g(x)在该区间上递减；
故g(x)在x0处取得最大值。
欲使f(x)= -2x + b在[0, 1]上恰有两个不同的实根，即g(x)在[0, 1]上有两个零点，需且只需g(x)在两个区间[0, √7/3)、(√7/3, 1]与上各有一个零点（由单调性，g(x)在两个区间上至多各有一个零点，由于x0=√7/3是g(x)的唯一一个最大值点，如果g(x0)=0，则g(x)在[0, 1]上只有1个零点）。
于是可令g(x0)>0, g(0)<0, g(1)<0，
即 ln(2+3*√7/3) -3*(√7/3)^2/2 +2*√7/3 - b>0，
ln 2-b<0；
ln 5-3/2+2-b<0；
解之，b<ln(2+√7)-7/6+2√7/3；
b>ln 2；
b>ln 5+1/2，
所以实数b的取值范围为(ln 5+1/2, ln(2+√7)-7/6+2√7/3)

ln 5+1/2≈0.2770514480;
ln(2+√7)-7/6+2√7/3≈2.133120645；
0.2770514480<2.133120645，
ln 5+1/2<ln(2+√7)-7/6+2√7/3。

Answer 2

解：（I）fʹ(x)=32+3x-3x=-3(x+1)(3x-1)3x+2，令f'（x）=0，得x=13或x=-1（舍）
当0≤x＜13时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当13＜x≤1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f(13)=ln3-16是函数在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞-ln32+3x对x∈[16，12]恒成立
若ln32+3x＞0即x∈[16，13)恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得a＞lnx-ln32+3x或a＜lnx+ln32+3x
设h(x)=lnx-ln32+3x=ln2x+3x23；g(x)=lnx+ln32+3x=ln32+3x
依题意得a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[13，12]恒成立
∵g′(x)=2x(2+3x)＞0，h′(x)=2+6x2x+3x2＞0
∴g（x），h（x）都在[13，12]上递增
∴a＞h(12)或a＜g(13)
即a＞ln712或a＜ln13
（3）由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-32x2+2x-b=0，
令ϕ(x)=ln(2+3x)-32x2+2x-b，则ϕʹ(x)=32+3x-3x+2=7-9x22+3x
当x∈[0，73]时，ϕ'（x）＞0，于是ϕ（x）在[0，73]上递增；当x∈[73，1]时，ϕ'（x）＜0，于是ϕ（x）在[73，1]上递减，而ϕ(73)＞ϕ(0)，ϕ(73)＞ϕ(1)∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于{ϕ(0)=ln2-b≤0ϕ(73)ln(2+7)-76+273-b＞0ϕ(1)=ln5+12-b≤0，解得ln5+12≤b＜ln(2+7)-76+273
点评：解决不等式恒成立求参数的范围，通常通过构造新函数，通过新函数导数求出函数的最值，进一步求出参数的范围．

Answer 3

= =楼上的答案是貌似错的