Question

证明数列为等差数列

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11，且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn+20n+8=0，求证数列{an}为等差数列。

Answer 1

(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn+20n+8=0
(5n-8)S(n+1)-(5n+2)[S(n+1)-a(n+1)]+20n+8=0
-10S(n+1)+(5n+2)a(n+1)+20n+8=0
-10Sn+(5n-3)an+20n-12=0
相减：
-10[S(n+1)-Sn]+(5n+2)a(n+1)-(5n-3)an+20=0
-10a(n+1)+(5n+2)a(n+1)-(5n-3)an+20=0
(5n-8)a(n+1)=(5n-3)an-20
(5n-8)[a(n+1)+x]=(5n-3)[an+x]
x=-4
(5n-8)[a(n+1)-4]=(5n-3)[an-4]
设bn=an-4,b1=a1-4=-3
(5n-8)b(n+1)=(5n-3)bn
[5(n-1)-8]bn=[5(n-1)-3]b(n-1)
[5(n-2)-8]b(n-1)=[5(n-2)-3]b(n-2)
……
(5*2-8)b3=(5*2-3)b2
(5-8)b2=(5-3)b1
两边相乘：
(5-8)bn=[5(n-1)-3]b1=(5n-8)(-3)
bn=5n-8
an=bn+4=5n-4
首项为1公差为5的等差数列。