Question

四棱锥P-ABCD中，PA垂直ABCD,PC垂直AD，底面ABCD为梯形，AB平行DC，AB垂直BC，PA=AB=BC,点E在棱PB上

且PE=2EB

1求证：平面PAB垂直平面PCB
2求证：PD‖平面EAC

Answer 1

证明：因为PA垂直ABCD，所以PA垂直BC
因为，AB垂直BC，所以BC垂直于平面PAB
因为BC真包含于平面PBC
所以平面PAB垂直平面PCB

连接AC,BD交于点O,连OE
设PA=AB=BC=a
易证三角形ABC是等腰直角三角形
故角BAC=45，AC=根号二a
因为AB平行DC，所以角ACD=45
因为PC垂直AD，且AD是PC在底面上的射影
所以DA⊥AC
所以三角形是等腰直角三角形
所以CD=2a
三角形ABO和三角形CDO相似
DO=2BO
有PE=2EB
故OE∥PD,OE真包含于平面EAC
所以PD‖平面EAC