Question

已知函数f（x）的图像与函数h（x）=x+1/x+2的图象关于点A（0,1）对称

若g（x）=f（x）+a/x，且g（x）=在区间（0,2】上为减函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）若h(x)对应x和y,且f(x)对应x'和y',
{即（x，y）是h(x)上的点,（x'，y'）是f(x)上的点}
那么根据条件，就有y+y'=2,x+x'=0
从而得到y'=2-y=2-x-(1/x)-2=-x-(1/x)=x'+(1/x')
即函数f(x)=x+(1/x)

（2）g（x）=x+1/x+a/x
g（x）=x+(1+a)/x
求一阶导数
g`(x)=1-（1+a)/x^2
g（x）=在区间（0,2】上为减函数,
1+a<0
a<-1

Answer 2

解：（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），
点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）图象上．
∴2-y=-x+1/-x+2．
∴y=x+1/x，即f（x）=x+1/x．
（2）g（x）=x+(a+1)/x，
∵g′（x）=1-(a+1)/x^2，g（x）在（0，2]上递减，
∴1-(a+1)/x^2≤0在x∈（0，2]时恒成立，
即a≥x^2-1在x∈（0，2]时恒成立．
∵x∈（0，2]时，max（x^2-1）=3，
∴a≥3．

Answer 3

h(x)=(x＋1)/(x＋2) ======>>>>> f(x)=(x－3)/(x－2) ====>>>> g(x)=(x－3)/(x－2)＋a/x
===>>>> g(x)=1－1/(x＋2)＋a/x =====>>> g'(x)=1/(x＋2)²－a/x²
则：g'(x)在区间(0，2]上恒小于等于0，即：1/(x＋2)²－a/x²≤0 ====>>> a/x²≥1/(x＋2)²
所以：a≥(x²)/(x＋2)²=[x/(x＋2)]²=[1－2/(x＋2)]²
则：只要a≥【[1－2/(x＋2)]²】在(0，2]上的最大值即可。。。最大值是：1/2，则：a≥1/2

Answer 4

f（x）=x+1/x
g（x）=x+1/x+a/x
g（x）=x+(1+a)/x
求一阶导数
g`(x)=1-（1+a)/x^2
g（x）=在区间（0,2】上为减函数,
1+a<0
a<-1

Answer 5

a≥1/2