Question

已知数列{an}满足a（n+1）=3a（n）+2*(3^n)+1，a1=3，求an

Answer 1

a(n+1)+3^(n+1)=3[an+3^n]+1

令an+3^n=bn

b(n+1)=3bn+1

b(n+1)+1/2=3(bn+1/2)

则{bn+1/2}成等比

bn+1/2=(3+7/2)3^(n-1)

bn=(3+7/2)3^(n-1)-1/2

所以an=(13/2)3^(n-1)-1/2-3^n=(7/6)3^n-1/2

追问

啊，看不懂a(n+1)+3^(n+1)=3[an+3^n]+1怎么来哒

Answer 2

解：a(n+1)=3an+2*3^n+1，两边同时除以3^(n+1)
a(n+1)/3^(n+1)=(an/3^n)+2/3+1/3^(n+1)，令an/3^n=bn，b1=a1/3=3/3=1
则b(n+1)-bn=2/3+1/3^(n+1)
bn-b(n-1)=2/3+1/3^n
………………………
b2-b1=2/3+1/3^2
联立以上各式：b(n+1)-b1=2n/3+(1/6)[1-(1/3)^n]
b(n+1)=b1+2/3n+(1/6)[1-(1/3)^n]，b(n+1)=1+2n/3+(1/6)[1-(1/3)^n]
a(n+1)=3^(n+1)+2n*3^(n+1)/3+[3^(n+1)/6)][1-(1/3)^n]=3^(n+1)+2n*3^n+3^(n+1)/6-(1/2)
a(n+1)=[(7/2)+2n]*3^n-(1/2)=[(7/2)+2(n+1-1)]*3^(n+1-1)-(1/2)
an=[(7/2)+2(n-1)]*3^(n-1)-(1/2)=[(3/2)+2n]*3^(n-1)-(1/2)