Question

函数fx，x属于R，若对于任意实数a，b都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0.f(1)=-2

试判断f(x)在【-3,3）上是否有最小值和最大值？若有，请求出，若无，请说明理由。

Answer 1

设x1<x2，则x2-x1>0
f(x2)
=f[x1+(x2-x1)]
=f(x1)+f(x2-x1)
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
因为对于任意的x>0，恒有f(x)<0
所以由x2-x1>0可得，f(x2-x1)<0
所以f(x2)-f(x1)<0
f(x1)>f(x2)
所以f(x)在R上是减函数

f(a+b)=f(a)+f(b)
令a=0，则有
f(0+b)=f(0)+f(b)
f(b)=f(0)+f(b)
f(0)=0
令b=-a
f(a-a)=f(a)+f(-a)
f(0)=f(a)+f(-a)
0=f(a)+f(-a)
f(-a)=-f(a)
且函数的定义域是R
所以f(x)是R上的奇函数

所以f(x)在【-3,3】上有最小值和最大值
最小值是f(3)=f(1)+f(2)= f(1)+[ f(1)+ f(1)]=3 f(1)=-6.
最大值是f(-3) = -f(3)=6.

Answer 2

∵x>0时,f(x)<0
∴f（x）在定义域内是减函数
f(x)在{-3,3}上的最大值就是f（-3），最小值是f（3）
f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=-6
f（-3）=-f（3）=6
所以最大值是6，最小值是-6