Question

对数曲线y=lnx上哪一点曲率最小？求出该点曲率半径。详解。

Answer 1

R(x)在x=1/√2点处，有最小值 R(1/√2)=(3√3)/2。

y=ln x，定义域为 x＞0，

y'=1/x， y"=-1/x^2，

曲率半径（目标函数）为

R(x)={[1+(y')^2]^(3/2)}/|y"|

={[1+(1/x)^2]^(3/2)}/(1/x^2)

=[(1+x^2)^(3/2)]/x， x＞0

R'(x)=[(2x^2-1)(1+x^2)^(1/2)]/x^2

当0＜x＜1/√2时，有 R'(x)<0，R(x) 单调减少；

当x＞1/√2时，有 R'(x)＞0，R(x) 单调增加。

所以R(x)在x=1/√2点处【即曲线上(1/√2,-ln√2)点】有最小值 R(1/√2)=(3√3)/2

扩展资料：

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度，特殊的如：圆上各个地方的弯曲程度都是一样的故曲率半径就是该圆的半径；直线不弯曲 ，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，所以曲率是0，故直线没有曲率半径，或记曲率半径为无穷。

圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。

如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意，是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。也可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能地微分，直到最后近似为一个圆弧，此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率半径。

Answer 2

y=ln x，定义域为 x＞0，
y'=1/x， y"=-1/x^2，
曲率半径（目标函数）为
R(x)={[1+(y')^2]^(3/2)}/|y"|
={[1+(1/x)^2]^(3/2)}/(1/x^2)
=[(1+x^2)^(3/2)]/x， x＞0。

R'(x)=[(2x^2-1)(1+x^2)^(1/2)]/x^2
当0＜x＜1/√2时，有 R'(x)<0，R(x) 单调减少；
当x＞1/√2时，有 R'(x)＞0，R(x) 单调增加。

所以R(x)在x=1/√2点处【即曲线上(1/√2,-ln√2)点】有最小值 R(1/√2)=(3√3)/2