Question

AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高，求证AD垂直平分EF

Answer 1

证明：AD是△ABC的角平分线，则有角EAD=角FAD，在三角形EAD和三角形FAD中，有角AED=角AFD=90°，且AD=AD，所以三角形AED全等于三角形AFD，则AE=AF。
令AD与EF交于点G，显然有三角形AEG全等于三角形AFG，从而得到EG=FG，且角AGE=角AGF=90°，即AD垂直平分EF

追问

证明：∠△≌
AD平分∠BAC
∠BAD=∠CAD
∠AED=∠AFD=90
AD=AD
RT△AED≌RT△AFD
AE=AF
△AEF是等腰三角形
AD平分∠BAC
所以
AD垂直平分EF（等腰三角形三线合一性质）

追答

殊途同归，你这样写也对，而且比我那样写还简单点

Answer 2

证明：设EF交AD与K，由题知，DE垂直于AB，DF垂直于AC，又AD平分角BAC。故角EAD+角ADB=90°=角DAC+角ADF，因角EAD=角CAF，然后证三角形AED与三角形ADF全等（角边角），故角ADE=角ADF，ED=FD,又因KD=KD，可得三角形EDK与三角形FDK全等。因此EK=KF，角EKD=角FKD，因角EKD+角FKD=180°。故角EKD=角FKD=90°，即证得AD垂直平分EF