Question

已知函数y=f(x)的定义域是(0,1),求函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) 的定义域

Answer 1

解：
欲使于是f(x+a)有意义，须使x+a∈(0,1)，即有0<x+a<1，-a<x<1-a；
欲使于是f(x-a)有意义，须使x-a∈(0,1)，即有0<x+a<1，a<x<1+a。
令a=1-a得：a=1/2；
令-a=1+a得：a=-1/2。
（1）当a≤-1/2时，1+a≤-a，x<1+a≤-a<x，矛盾，函数g(x)的定义域为空集，或者说函数无意义；
（2）当a≥1/2时，结论同上；
（3）当-1/2<a<0时，1+a<1-a，a<-a，有-a<x<1+a，函数g(x)的定义域为(-a, 1+a)；
（4）同理，当0≤a<1/2时，函数g(x)的定义域为(a, 1-a)。