Question

已知函数f(x)=a-1/|x|.若f(x)<2x在(1,+oo)上恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)<2x在(1,+oo)上恒成立，即a-1/|x|<2x恒成立，化简得到2x^2-ax+1>0，则分情况讨论： （1）当函数y=2x^2-ax+1与x轴无交点时，只需有△=a^2-8<0即可，即-2*根号2<a<2*根号2
（2）当函数y=2x^2-ax+1与x轴有一个交点时，需有△=0，且对称轴a/4<=1，解得a=-2*根号2或a=2*根号2
（3）当函数y=2x^2-ax+1与x轴有两个个交点时，需有△=a^2-8>0，f（1）>=0，对称轴a/4<1，解得2*根号2<a<=3或a<-2*根号2

Answer 2

(x)<2x，即a-(1/ |x| )<2x，又x>1即a<2x+1/x
设g（x）=2x+1/x （x>1),
令x2>x1
,则g（x2）-g（x1）
=2x2-1/x1+2x1-1/x2
=(x2-x1)(2x1x2-1)/（x1x2）x2>x1>1
,即x2-x1>0,2x1x2-1>0
所以g（x2）-g（x1）>0
所以g（x）为增函数，
所以g（x）>g(1)=3
所以a≤g(1)=3,即a≤3