急求2011江苏数学中考压轴题
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求2011江苏数学中考压轴题 13大市的都要 只要压轴题 答案也要
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(江苏省徐州市)如图,已知二次函数y=- x 2+ x+4的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
(1)点A的坐标为____________,点C的坐标为____________;
(2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有两个,并求出此时点P的坐标.
解:(1)A(0,4),C(8,0) 2分
(2)存在
设直线AC的解析式为y=kx+b
则b=48k+b=0 解得k=- b=4
∴直线AC的解析式为y=- x+4 3分
∵抛物线的对称轴为x=- =3,∴D(3,0)
∴AD= =5,DC=8-3=5,∴AD=DC
①当DE=DC时,点E与点A重合,∴E1(0,4)
4分
②当EC=DC时,则EC=5,又AC= =
如图①,过E作EF⊥DC于F,则△EFC∽△AOC
∴ = ,即 = ,∴EF= ,∴FC=
由- x+4= 得x=8-
∴E2(8- , ) 5分
③当ED=EC时,如图①,过E作EG⊥DC于G,则DG= DC=
∴OG=OD+DG=3+ = ,代入y=- x+4,得y=
∴E3( , ) 6分
综上所述,符合条件的点E有三个:E1(0,4),E2(8- , ),E3( , )
(3)方法1:如图②,过P作PH⊥OC,垂足为H,交直线AC于点Q
设P(m,- m 2+ m+4),则Q( ,- m+4)
①当0<m<8时
PQ=(- m 2+ m+4)-(- m+4)=- m 2+2m
S△PAC =S△APQ + S△CPQ = ×8×(- m 2+2m)=-(m-4)2+16
∴0<S≤16 7分
②当-2<m<0时
PQ=(- m+4)-(- m 2+ m+4)= m 2-2m
S△PAC =S△CPQ - S△APQ = ×8×( m 2-2m)=(m-4)2-16
∴0<S<20
故S=16时,相应的点P有且只有两个 8分
当m=4时,S=16,此时y=- m 2+ m+4=6
∴P1(4,6) 9分
由(m-4)2-16=16,得m1=4+ (舍去),m2=4-
∴y=- m 2+ m+4= -2
∴P2(4- , -2) 10分
方法2:如图③,将线段AC向上平移,记平移后的线段为A′C′,在A′C′与抛物线相切前,A′C′ 与抛物线始终有两个交点,加上线段AC下方的一个点,共有三个P点可以构成△PAC;当A′C′ 与抛物线相切时,满足条件的点P有且只有两个.
设直线A′C′ 的解析式为y=- x+b,代入抛物线的解析式得:
- x 2+ x+4=- x+b,整理得:x 2-8x+4b-16=0
当A′C′ 与抛物线只有一个交点时,Δ=(-8)2-4(4b-16)=0
解得b=8,∴A′A=AO=4
又∵A′C′‖AC,∴△PAC和△AOC的公共边AC上的高也相等
∴S△PAC =S△AOC = ×8×4=16
故当S=16时,相应的点P有且只有两个 8分
联立y=- x+8y=- x 2+ x+4 解得x=4y=6
∴P1(4,6) 9分
将线段AC向下平移至经过原点O,并向上延长交抛物线于点P2,
则S△P2AC =S△P1AC =S△AOC =16,直线OP2的解析式为y=- x
把y=- x代入y=- x 2+ x+4,得- x 2+ x+4=- x
解得x1=4+ (舍去),x2=4- ,∴y= -2
∴P2(4- , -2) 10分
(1)点A的坐标为____________,点C的坐标为____________;
(2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有两个,并求出此时点P的坐标.
解:(1)A(0,4),C(8,0) 2分
(2)存在
设直线AC的解析式为y=kx+b
则b=48k+b=0 解得k=- b=4
∴直线AC的解析式为y=- x+4 3分
∵抛物线的对称轴为x=- =3,∴D(3,0)
∴AD= =5,DC=8-3=5,∴AD=DC
①当DE=DC时,点E与点A重合,∴E1(0,4)
4分
②当EC=DC时,则EC=5,又AC= =
如图①,过E作EF⊥DC于F,则△EFC∽△AOC
∴ = ,即 = ,∴EF= ,∴FC=
由- x+4= 得x=8-
∴E2(8- , ) 5分
③当ED=EC时,如图①,过E作EG⊥DC于G,则DG= DC=
∴OG=OD+DG=3+ = ,代入y=- x+4,得y=
∴E3( , ) 6分
综上所述,符合条件的点E有三个:E1(0,4),E2(8- , ),E3( , )
(3)方法1:如图②,过P作PH⊥OC,垂足为H,交直线AC于点Q
设P(m,- m 2+ m+4),则Q( ,- m+4)
①当0<m<8时
PQ=(- m 2+ m+4)-(- m+4)=- m 2+2m
S△PAC =S△APQ + S△CPQ = ×8×(- m 2+2m)=-(m-4)2+16
∴0<S≤16 7分
②当-2<m<0时
PQ=(- m+4)-(- m 2+ m+4)= m 2-2m
S△PAC =S△CPQ - S△APQ = ×8×( m 2-2m)=(m-4)2-16
∴0<S<20
故S=16时,相应的点P有且只有两个 8分
当m=4时,S=16,此时y=- m 2+ m+4=6
∴P1(4,6) 9分
由(m-4)2-16=16,得m1=4+ (舍去),m2=4-
∴y=- m 2+ m+4= -2
∴P2(4- , -2) 10分
方法2:如图③,将线段AC向上平移,记平移后的线段为A′C′,在A′C′与抛物线相切前,A′C′ 与抛物线始终有两个交点,加上线段AC下方的一个点,共有三个P点可以构成△PAC;当A′C′ 与抛物线相切时,满足条件的点P有且只有两个.
设直线A′C′ 的解析式为y=- x+b,代入抛物线的解析式得:
- x 2+ x+4=- x+b,整理得:x 2-8x+4b-16=0
当A′C′ 与抛物线只有一个交点时,Δ=(-8)2-4(4b-16)=0
解得b=8,∴A′A=AO=4
又∵A′C′‖AC,∴△PAC和△AOC的公共边AC上的高也相等
∴S△PAC =S△AOC = ×8×4=16
故当S=16时,相应的点P有且只有两个 8分
联立y=- x+8y=- x 2+ x+4 解得x=4y=6
∴P1(4,6) 9分
将线段AC向下平移至经过原点O,并向上延长交抛物线于点P2,
则S△P2AC =S△P1AC =S△AOC =16,直线OP2的解析式为y=- x
把y=- x代入y=- x 2+ x+4,得- x 2+ x+4=- x
解得x1=4+ (舍去),x2=4- ,∴y= -2
∴P2(4- , -2) 10分
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