Question

设函数f(x)=|2x-4|+1

f(x)=ax的图象怎么画？？ a的取值范围是怎么得到的？？

Answer 1

要画此函数图像，先去掉绝对值符号，再根据其定义域（即：x的取值范围）画函数图像
解：
1）当2x-4>0时(即：x>2)，函数f(x)=|2x-4|+1去掉绝对值符号为：
f(x)=|2x-4|+1
=2x-3
2)
当2x-4=0时(即：x=2)，函数f(x)=|2x-4|+1去掉绝对值符号为：
f(x)=|2x-4|+1
=1
3）当2x-4<0时(即：x<2)，函数f(x)=|2x-4|+1去掉绝对值符号为：
f(x)=|2x-4|+1
=-(2x-4)|+1
=-2x+5
分这三种情况去画函数图像，就容易了吧，
具体解答：
（Ⅰ）画出函数y=f(x)
的图像：
解：
根据上面的分析，可得到函数f(x)=|2x-4|+1的图像由以下两部分组成：
①
f(x)=2x-3(其中：x≥2)的图像，即：f(x)=2x-3中，x≥2的部分的图像；
②
f(x)=-2x+5(其中：x≤2)的图像，即：f(x)=-2x+5中，x≤2的部分的图像；
说明：包含(2，1)这个点。f(x)=|2x-4|+1的图像自己画。
（Ⅱ）若不等式
f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围
解：设f(x)=y=ax
∵
f(x)=y=ax为直线，在直角坐标系中；
∴
根据可知道：
f(x)=y=ax为直线，恒过原点(0，0)
∵
f(x)≤ax的解集非空
∴
根据f(x)=y=ax、f(x)=|2x-4|+1图像相交，
即：
直线f(x)=y=ax，应与f(x)=|2x-4|+1的有交点。否则：f(x)=|2x-4|+1>ax。
【为什么有交点，要结合一次函数的图像相交的情况，在后面有详细的说明】
③
求直线f(x)=y=ax，与f(x)=|2x-4|+1的平行线为：
即：直线f(x)=y=ax与f(x)=|2x-4|+1中x≤2的部分(即：与f(x)=-2x+5)才有平行线。
∴
直线f(x)=y=ax与f(x)=-2x+5的斜率相等，那么：
直线f(x)=y=ax，与f(x)=|2x-4|+1的平行线为：
f(x)=y=-2x
④
求直线f(x)=y=ax与f(x)=|2x-4|+1相交于点(2，1)的直线：
即：直线f(x)=y=ax与f(x)=|2x-4|+1中x≥2的部分(即：与f(x)=2x-3)才相交于点(2，1)。
∵
直线f(x)=y=ax与f(x)=|2x-4|+1相交于点(2，1)
∴
直线f(x)=y=ax过点(2，1)，则：
a×2=1
a=1/2
那么，直线f(x)=y=ax与f(x)=|2x-4|+1相交于点(2，1)的直线为：
f(x)=y=(1/2)x
∵
要使函数f(x)≤ax的解集非空
∴
根据直线f(x)=y=ax、f(x)=|2x-4|+1的函数图像分析可得到：
直线f(x)=y=ax图像在第四象限时，若直线f(x)=y=ax图像位置在x轴与直线y=-2x图像之间时，那么f(x)=|2x-4|+1>ax。
直线f(x)=y=ax图像在第一象限时，若直线f(x)=y=ax图像位置在x轴与直线y=(1/2)x
图像之间时，那么f(x)=|2x-4|+1>ax。
∴
当f(x)≤ax的解集非空时，直线f(x)=y=ax，应与f(x)=|2x-4|+1的图像相交（有交点）。否则：f(x)=|2x-4|+1>ax。
∴
f(x)=y=ax的斜率a小于直线y=-2x的斜率-2，则：a<-2
f(x)=y=ax的斜率a大于或等于直线y=(1/2)x的斜率1/2，则：a≥1/2
综上所述：
若不等式
f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围：a<-2，a≥1/2。

Answer 2

f(x)=ax是一条过原点的直线（以原点为轴心旋转的直线）。f(x)=|2x-4|+1图像的两条直线斜率分别是-2，2。因为不等式为非空集所以f(x)=ax这条直线在当x=2时一定大于等于1。所以f(x)=ax的斜率大于等1/2即a大于等1/2（我不知道a为什么不能等于1/2）。有第一问图像可知，当f(x)=ax过原点斜率是-2时两函数没有交点，即不等式为空集。所以只有当两函数有交点时（f(x)=ax》=f(x)=|2x-4|+1成立）解集才非空，所以a要大于-2.