已知AD是三角形ABC的角平分线,且角B=2角C.求证:AC=AB+BD

幽娴艾
2011-08-01 · TA获得超过4.4万个赞
知道大有可为答主
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分析:由结论观察图形,若BD与AB在同一条直线上,那么就是要证BE=BD,因而需构造全等三角形。通过证△AED≌△ACD来实现,可作图延长AB到E,使AE=AC,从而由SAS证△AED≌△ACD,推出∠E=∠C,若∠E=∠3,问题就解决了,由于∠ABC是△BED的外角,因此∠ABC=∠E+∠3,即∠ABC=∠C+∠3,而已知条件给出∠ABC=2∠C,因此推出∠C=∠3,因此可推出∠E=∠3,由等角对等边可推出BE=BD,从而证明AB+BD=AC

证明:(法一)延长AB到F,使BF=BD
∵∠F=∠1(等边对等角)
又∵∠ABC=∠F+∠1(三角形一个外角等于不相邻的两个内角和)
而∠ABC=2∠C
∴∠F=∠C
在△AFD和△ACD中
∴△AFD≌△ACD(AAS)
∴AF=AC
又AF=AB+BF=AB+BD
∴AC=AB+BD
(法二)在AC上截取AF=AB,接下去只要证FC=BD。
通过作图知△ABD≌△AFD,得BD=FD,∠B=∠AFD,
由∠AFD=∠FDA+∠C,∠B=2∠C,不难得到∠FDC=∠C,即FD=FC。
http://hi.baidu.com/youxianai/album/item/78ef3d1364d59b44dc54012c.html#
GamryRaman
2023-06-12 广告
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