Question

已知AD是三角形ABC的角平分线,且角B=2角C.求证:AC=AB+BD

Answer 1

分析：由结论观察图形，若BD与AB在同一条直线上，那么就是要证BE=BD，因而需构造全等三角形。通过证△AED≌△ACD来实现，可作图延长AB到E，使AE=AC，从而由SAS证△AED≌△ACD，推出∠E=∠C，若∠E=∠3，问题就解决了，由于∠ABC是△BED的外角，因此∠ABC=∠E+∠3，即∠ABC=∠C+∠3，而已知条件给出∠ABC=2∠C，因此推出∠C=∠3，因此可推出∠E=∠3，由等角对等边可推出BE=BD，从而证明AB+BD=AC

证明：（法一）延长AB到F，使BF＝BD
∵∠F＝∠1（等边对等角）
又∵∠ABC＝∠F+∠1（三角形一个外角等于不相邻的两个内角和）
而∠ABC＝2∠C
∴∠F＝∠C
在△AFD和△ACD中
∴△AFD≌△ACD（AAS）
∴AF＝AC
又AF＝AB+BF＝AB+BD
∴AC＝AB+BD
（法二）在AC上截取AF＝AB，接下去只要证FC＝BD。
通过作图知△ABD≌△AFD，得BD＝FD，∠B＝∠AFD，
由∠AFD＝∠FDA+∠C，∠B＝2∠C，不难得到∠FDC＝∠C，即FD＝FC。
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