Question

请求会高一数学的同志解答~

定义域在实数集上的函数f(x)，对于任意xy属于R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0
1.求证f(0)=1
2.判断y=f(x)的奇偶性
3.若存在正常数c，使f(2分之c)=0
1）求证：对于任意x属于R，有f(x+c)=-f(x)成立
2）试问函数f(x)是不是周期函数？如果是，找出一个周期，如果不是，说明理由

Answer 1

1).令y=0.
f(x)+f(x)=2f(x)*f(0)
∵f(0)≠0
化简得f(0)=1
2)令x=0.则有对任意y∈R
f(y)+f(-y)=2f(0)*f(y)
而f(0)=1
代入得
f(y)+f(-y)=2f(y)
化简得f(-y)=f(y)
∴f(x)为偶函数
3)令y=c/2
则有f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)*f(c/2)=0
∴f(x+c/2)=-f(x-c/2)
令x=x+c/2
则有f(x+c)=-f(x)
2.f(x+c)=-f(x)
f(x+2c)=-f(x+c)=f(x)
所以是周期函数.周期为2c

Answer 2

1.令x=y=0 f(0)+f(0)=2f(0)f（0） 设f(0)=a 2a=2a的平方 a不等于0 a =1 所以f(0)=1
2.令x=-y 则可