在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10. 点E在下底边BC上,点F在腰AB上.
在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示...
在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10. 点E在下底边BC上,点F在腰AB上.
(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;
(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;
(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由. 展开
(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;
(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;
(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由. 展开
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由题意得 等腰梯形ABCD的周长c=24,高h=4,面积s=28
(1)设△BEF中BE边上的高为a
BF=c/2 -x =12-x
则BF/AB = a/h,即a=4(12-x)/5
△BEF的面积=a*BE/2=[4(12-x)/5]*x/2=[24x-2x^2]/5
(2)假设EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分
则△BEF的面积=[24x-2x^2]/5=s/2=14
即[24x-2x^2]/5=14,整理得x^2-12x+35=0
解得 x1=7(不合题意点E在下底边BC上,点F在腰AB上舍去)
x2=5(不合题意点E在下底边BC上,点F在腰AB上舍去)
所以 不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分
(3) 假设EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分
此时 BF=c/3 -x =8-x
则BF/AB = a/h,即a=4(8-x)/5
△BEF的面积=a*BE/2=[4(8-x)/5]*x/2=[16x-2x^2]/5=s/3=28/3
即[16x-2x^2]/5=28/3,整理得3x^2-24x+70=0
关于x的方程根的判别式=(-24)^2-4*3*70=576-840<0
关于x的方程无解
所以 不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分
(1)设△BEF中BE边上的高为a
BF=c/2 -x =12-x
则BF/AB = a/h,即a=4(12-x)/5
△BEF的面积=a*BE/2=[4(12-x)/5]*x/2=[24x-2x^2]/5
(2)假设EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分
则△BEF的面积=[24x-2x^2]/5=s/2=14
即[24x-2x^2]/5=14,整理得x^2-12x+35=0
解得 x1=7(不合题意点E在下底边BC上,点F在腰AB上舍去)
x2=5(不合题意点E在下底边BC上,点F在腰AB上舍去)
所以 不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分
(3) 假设EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分
此时 BF=c/3 -x =8-x
则BF/AB = a/h,即a=4(8-x)/5
△BEF的面积=a*BE/2=[4(8-x)/5]*x/2=[16x-2x^2]/5=s/3=28/3
即[16x-2x^2]/5=28/3,整理得3x^2-24x+70=0
关于x的方程根的判别式=(-24)^2-4*3*70=576-840<0
关于x的方程无解
所以 不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分
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解:(1)由已知条件得:
梯形周长为24,高4,面积为28.
过点F作FG⊥BC于G
∴BK= 12(BC-AD)= 12×(10-4)=3,
∴AK= AB2-BK2=4,
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,
∴BF=12-x,
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK,
∴ FGAK=BFBA,
即: FG4=12-x5,
则可得:FG= 12-x5×4
∴S△BEF= 12BE•FG=- 25x2+ 245x(7≤x≤10);(3分)
(2)存在(1分)
由(1)得:- 25x2+ 245x=14,
x2-12x+35=0,
(x-7)(x-5)=0,
解得x1=7,x2=5(不合题意舍去)
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7;
(3)不存在(1分)
假设存在,显然是:S△BEF:SAFECD=1:2,(BE+BF):(AF+AD+DC+CE)=1:2(1分),
梯形ABCD周长的三分之一为24/3=8,面积的三分之一为28/3.因为BE=X,
所以BF=(8-X),EM=4X/5,
所以△BEF的面积为: 2(8-x)x5=83,
∴一 25x2+ 165x= 283整理得:3x2-24x+70=0,
△=576-840<0
∴不存在这样的实数x.
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积.
同时分成1:2的两部分.(2分)
梯形周长为24,高4,面积为28.
过点F作FG⊥BC于G
∴BK= 12(BC-AD)= 12×(10-4)=3,
∴AK= AB2-BK2=4,
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,
∴BF=12-x,
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK,
∴ FGAK=BFBA,
即: FG4=12-x5,
则可得:FG= 12-x5×4
∴S△BEF= 12BE•FG=- 25x2+ 245x(7≤x≤10);(3分)
(2)存在(1分)
由(1)得:- 25x2+ 245x=14,
x2-12x+35=0,
(x-7)(x-5)=0,
解得x1=7,x2=5(不合题意舍去)
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7;
(3)不存在(1分)
假设存在,显然是:S△BEF:SAFECD=1:2,(BE+BF):(AF+AD+DC+CE)=1:2(1分),
梯形ABCD周长的三分之一为24/3=8,面积的三分之一为28/3.因为BE=X,
所以BF=(8-X),EM=4X/5,
所以△BEF的面积为: 2(8-x)x5=83,
∴一 25x2+ 165x= 283整理得:3x2-24x+70=0,
△=576-840<0
∴不存在这样的实数x.
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积.
同时分成1:2的两部分.(2分)
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(1)FG=4(12-x)/5
(2)存在x=7
(3)不存在
这是2008年诸暨市提前招生考试试卷的最后一道题
(2)存在x=7
(3)不存在
这是2008年诸暨市提前招生考试试卷的最后一道题
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(1)、过A作BC的垂线,则可以知道tanB=4/3。设BE为X,则BF=12-X,则△BEF在BC边上的高为4/5*(12-x),故面积为1/2*4/5*(12-x)*x=2/5*(12x-x^2)
(2)、假设存在,因为梯形的面积为28,一般就是14,那么(1)中的面积公式=14,解方程得X=5或7,又由于12-X>=0或<=5,则X>=7或<=12,若等于7,则F与A点重合。
(3)、因为BE+BF最大为15,故BE+BF只能等于8,设BE为X则BF为8-X,故△BEF面积2/5*(8x-x^2)=28/3或28*2/3,解方程可得,再判断存在可能性就可以(与第2题相似,就不重复过程啦,自己求解答案吧)
(2)、假设存在,因为梯形的面积为28,一般就是14,那么(1)中的面积公式=14,解方程得X=5或7,又由于12-X>=0或<=5,则X>=7或<=12,若等于7,则F与A点重合。
(3)、因为BE+BF最大为15,故BE+BF只能等于8,设BE为X则BF为8-X,故△BEF面积2/5*(8x-x^2)=28/3或28*2/3,解方程可得,再判断存在可能性就可以(与第2题相似,就不重复过程啦,自己求解答案吧)
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2011-08-08
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