Question

已知函数f(x)=5根号3cos平方x+根号3sin平方x-4sinxcosx（π/4≤x≤7π/24）

求此函数最小值对应下的X值。要在定义域内！

Answer 1

f(x)=5根号3cos平方x+根号3sin平方x-4sinxcosx
=5√3cos²x+√3sin²x-4sinxcosx
=√3cos²x+√3sin²x+4√3cos²x-4sinxcosx
=√3+4√3cos²x-4sinxcosx
=√3+4√3*(1+cos2x)/2-2sin2x
=√3+2√3+2√3 cos2x-2sin2x
=3√3+2√3 cos2x-2sin2x
=3√3+4(√3 /2*cos2x-1/2*sin2x)
=3√3+4 cos(2x+π/6)
因为π/4≤x≤7π/24, 所以2π/3≤2x+π/6≤3π/4.
所以-√2/2≤cos(2x+π/6) ≤-1/2
函数最小值为3√3+4*（-√2/2）=3√3-2√2.
此时2x+π/6=3π/4.
X=7π/24.

Answer 2

f(x)=4√3cos²x＋√3－4sinxcosx
=2√3﹙1＋cos2x﹚－2sin2x＋√3
=4[﹙√3／2﹚cos2x-﹙1／2﹚sin2x]＋3√3
=4cos﹙2x＋π／6﹚＋3√3
∵π/4≤x≤7π/24
∴﹙2／3﹚π≤2x＋π／6≤﹙3／4﹚π
由图像可知在﹙3／4﹚π处最小
∴此时x＝7π/24