Question

已知椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,离心率e=√2/2,右准线方程为X=2，

求：（1）椭圆的标准方程，（2）过点F1的直线L与该椭圆交与M,N两点，且▏F2M+F2N▏=2√26/3，求直线L的方程

Answer 1

(1) e=c/a=√2/2
右准线x=a^2/c=2
所以 a=√2，c=1，b^2=a^2-c^2=1
圆的标准方程为 x^2/2+y^2=1

(2) F1(-1，0)，设L方程为 y=k(x+1)，代入椭圆方程消去y得
x^2+2k^2(x+1)^2=2
(2k^2+1)x^2+4k^2*x+2k^2-2=0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
x1+x2=-4k^2/(2k^2+1)， (1)
x1*x2=(2k^2-2)/(2k^2+1) (2)
由 |F2M|+|F2N|=|F2M|+|F2N|+|MF1|+|NF1|-|MN|=4a-|MN|=2√26/3得
|MN|=4√2-2√26/3 (3)
而|MN|=√(k^2+1)*√[(x1+x2)^2-4x1*x2] (4)
所以，由（1）（2）（3）（4）可得 k=???
（你把（1）（2）（3）都代入（4），自己算吧，数太不整了）

Answer 2

k=1或-1
y=x+1或y=-x-1