Question

求椭圆离心率

已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,相量BF=2相量FD,则C的离心率是?(用第二定义解,既到定点的距离比上到定直线的距离等于离心率)

Answer 1

B点到准线距离就是a²/c 到焦点距离是BF
根据第二定义
BF/(a²/c)=e；那么BF=a²/c×c/a=a；
先设BD与x轴的夹角是𝛉
有cos𝛉=c/a=e；
对于D点
它到准线的距离就是p-DF*cos𝛉(p是焦点到准线的距离)
其中p=a²/c-c 题目中已经给出来DF=1/2BF=a/2
代入上面得到D点到准线距离就是a²/c-c-c/2=a²/c-3c/2；
根据椭圆的第二定义，就有
(a/2)/(a²/c-3c/2)=e=a/c；
解之，得
a²=3c²
于是e=c/a=√3/3

Answer 2

设另外一个焦点为F'。
BF=a，DF=a/2
DF'=2a-DF=3a/2
根据余弦定理可算出
cosBDF'=7/9
又根据余弦定理可算出
FF' ²=4a²/3
c=a/√3
e=c/a=1/√3

Answer 3