Question

知道“病态函数”的请进

病态函数：当x取有理数时，f(x)=a,当x取无理数时，f(x)=b,(a不等于b).
听说这个函数处处不可导，即处处不连续！我想问：这是不是说明有理数和无理数是恰好相隔的？（无理数的俩边都是有理数，有理数的两边都是无理数？）

Answer 1

有理数和无理数不是恰好相隔的，不是像你想像的那样，一个数“两边”紧挨着某个确定的数。我们知道，无论是有理数还是无理数都是稠密的，所以不存在无限靠近没有空隙的两个不同的数。这个函数只是说时，一个无理数两边，不论多么靠近总可以找到有理数，反之亦然。

你举的是Dirichlet函数，一般定义在无理点是0，在有理点是1。它是处处不连续的（自然也不可导），Riemann不可积的。常用作举反例。

而一般所谓的病态函数，往往指处处连续但处处不可导的函数，如Weierstrass函数，它是由一个无穷级数定义的，可以直观地想象它，就是一条连续的锯齿状折线，但锯齿的大小无限地小。

事实上，病态只是说具有一些很“不好”的性质，这里是处处连续而不可微，有时不可积、处处不连续等也可以说是病态的。

Answer 2

呵呵 病态函数就是维尔斯特拉斯函数——处处连续，但处处不可导

你记错拉。