Question

关于均值不等式的问题

已知x>0 y>0 且1/x+9/y=1，求x+y的最小值
这题标准做法是用一的代换，（1/x+9/y）（x+y）求最值，这我知道
但是由于“正定等”的原理，当x=y时，x+y有最小值
为什么不能直接设x=y，带入到1/x+9/y=1求出x，y，再带回到x+y中？ 结果不一样啊……

Answer 1

直接设x=y，带入到1/x+9/y=1求出x，y，再带回到x+y中,求出这个值,你只能作为猜测它的最小值.
解答题这样做是不行的,因为这样做理由不充分.
解:因为1/x+9/y=1
所以x+y=(x+y)(1/x+9/y)=1+y/x+9x/y+9>=10+2根号[(1/x)*(9/y)]=16
当且仅当y/x=9x/y时取等号
即x=4,y=12时,x+y取到最小值16

Answer 2

这个 正定值 原理 可能是你们 老师 总结的 要注意 应用条件
这道题 不是 x=y时 有最小值

追问

我知道，但是为什么...

Answer 3

X与X分之一用最小值X等于1，Y与Y分之9用最小值Y等于3，X不等于Y，所以你那样不对…

Answer 4

因为 正定等 的原理 这道题中的等是说 y/x=9x/y。。。。。

Answer 5

不成立，要取等号必须要x+(1/x)=1/[x+(1/x)]，可以推出x+(1/x)=1，而x+(1/x)≥2的，所以取不到1