Question

多元复合函数求偏导问题 X=1/u+1/v y=(1/u)^2+(1/v)^2 z=(1/u)^3+(1/v)^3+e^x 求Z对Y的偏导和Z对V的偏导.

给我讲一下方法也行啊,就是他们之间的联系和求导的顺序.
答案是:Z对Y的偏导=3/2u+(ue^x)/2
Z对V的偏导=3/(uv^2)-3/v^4+(u-v)e^x/v^3

Answer 1

很久没做了，小试牛刀

追问

第一问对了!!!
但是你的第二问.Z对v的偏导求错了,再帮忙看看啊.
麻烦你了,
谢谢啊!!
做对了还有分数给你.
拜托了.

Answer 2

这里不方便输入，我就都用d表示偏导和导数了

首先，z对v的偏导是很自然的，把x作为u,v的函数代入z的表达式，直接求偏导即可，结果为
dz/dv=-3v^{-4}+e^x(-v^{-2})

下面看z对y的偏导

由于x，y都是关于u，v的函数，当jacobi行列式不为0时，可以得到u、v关于x、y的函数

注意到

当u=v时，x=2/u，y=2/u^2，
y=x^2/2
z=x^3/4+e^x
dy/dx=x
所以dz/zy=(dz/dx)*(dx/dy)=((3x^2/4)+e^x)/x

当u≠v时，jacobi行列式2(uv)^{-3}(u-v)不为0，因此，可以把u、v看作x、y的函数
从而，z=z(u,v)=z(u(x,y),v(x,y))
于是
dz/dy=(dz/du)*(du/dy)+(dz/dv)*(dv/dy)
其中
dz/du=-3u^{-4}+(-u^{-2})e^x
dz/dv=-3v^{-4}+(-v^{-2})e^x
dy/du=-2u^{-3}
dy/dv=-2v^{-3}
代入即可

追问

答案是:Z对Y的偏导=3/2u+(ue^x)/2
Z对V的偏导=3/(uv^2)-3/v^4+(u-v)e^x/v^3
帮忙在看看啊 谢了

追答

是不是uv之间还有关系，但如过哪样的话，就变成一元函数了。
对于答案，我也没想出他是怎么算的，特别是z对v的偏导，这完全没道理嘛。

你要是学生的话可以问问老师，我想我的方法应该是可以的。

Answer 3

说下我的思路（经过计算是OK的）：
1，对于复合函数求偏导数，首先要搞清楚（1）函数（2）自变量（3）中间变量：中间变量又为自变量的函数。中间变量和自变量是相对的。
2，计算方法：第一问，显然，中间变量是u, v,（1）dz/dy=dz/du*du/dy + dz/dv*dv/dy dz/du和dz/dv这个简单，不用我写了吧。（2）接下来只要求得du/dy和dv/dy就能求解。由已知y=(1/u)^2+(1/v)^2可求得du/dy.
注意，这里有个简单方法：直接求du/dy很繁琐，可以通过求dy/du然后取倒数即可，很简洁。（因为等式右边dv/du=0,因为u,v是无关的独立自变量）这个方法只适用于一元偏倒数，高数教材有介绍这种方法。（3）同样的步骤可求出dv/dy，从而得解。
第二问：与第一问不同的是要把x，y看做是中间变量，dz/dv=(dz/dx)*(dx/dv) + (dz/dy)*(dy/dv)求解步骤与第一问雷同。略