Question

如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4。PQ‖AB，P点在AC上（与A,C点不重合），Q点在BC上

问：在AB上是否存在点M，使得三角形PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由，若存在，求出PQ长

Answer 1

若角PMQ=90°则PQMC四点共圆显然满足等腰直角三角形的M必须是圆与AB的切点，可见三角形必须为等腰三角形方能满足
若PQM或者QPM=90°，有 两个M满足题意
设相似比为x PQ=PM
5x=12/5(1-x)
x=12/37
PQ=5x=60/37

Answer 2

）∵AC=4，AB=5，BC=3
∴△ABC的高为125
①当∠MPQ=90°，且PM=PQ时，
∵△CPQ∽△CAB
∴PQAB=△CPQ的高△CAB的高
∴PQ5=125-PQ125
∴PQ=6037
②当∠PQM=90°时与①相同
③当∠PMQ=90°，且PM=MQ时
过M作ME⊥PQ
则ME=12PQ
∴△CPQ的高为125-ME=125-12PQ
∴PQAB=△CPQ的高△CAB的高
∴PQ5=125-12PQ125
∴PQ=12049．