Question

两道高中数学导数选择题。

1.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8,则曲线y=f(x)在点（1，f(1))处的切线方程是？
2.若函数g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)……(x-2010)(x-2011),则g'(2011)=?

Answer 1

1.令x=1
f(1)=2f(1)-1+8-8 f(1)=1；
另外
f‘(x)=-2f’(2-x)-2x+8(涉及复合函数的求导法则)
同样令x=1
那么k=f‘(1)=-2f’(1)-2+8 f’(1)=2
所以切线方程就是y=2(x-1)+1；即为y=2x-1；
2.令f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)……(x-2010) 它的导数为f‘(x)；
根据导数积的算法
g’(x)=f'(x)(x-2011)+f(x)*1,
将x=2011代入得到
g‘(2011)=f(2011)=2010*2009*....*1=2010!

Answer 2

f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8
f(x)-2f(2-x)=-x^2+8x-8。。。①
2-x=t，x=2-t
f（2-t）-2f(t)=-(2-t)^2+8(2-t)-8=-t^2-4t+4
f(2-x)-2f(x)=-x^2-4X+x4.。。。②
由①②解得
f（x)=x²
f′(x)=2x
在点（1，f(1))处的切线方程y-1=2(x-1)即y=2x-1

Answer 3

第二题，根据乘法求导法则g'(x)=(x-1)'()...(x-2011)+(x-1)(x-2)'()...(x-2011)+...+(x-1)()...(x-2011）'
把2011带进去可以求了
第一题，令x=1求出f(1)=1,对原式求导求出f'(1),然后可解