Question

设自然数n使2n+1及3n+1都是完全平方数，求证：40|n

就是n能被40整除的意思

Answer 1

注意到2n+1为奇数，且为完全平方数，那么它是一个奇数的平方，其对8取模余1，于是
2n+1≡1(mod8)，得到n≡0(mod4)，即4|n
设n=4m，那么3n+1=12m+1为完全平方数，也是一个奇数的平方，于是12m+1≡1(mod8)，得到m≡0(mod2)，即m为偶数，即8|n
设n=8k，那么16k+1与24k+1都是完全平方数，因此它们对5取模余0,-1,1。注意到16k+1≡k+1(mod5)，24k+1≡-k+1(mod5)，只有k≡0满足k+1与-k+1对5取模余0,-1,1，因此5|k
综上40|n

Answer 2

简单啊！
2n+1是奇数，3n+1待定，且相差为n。
那么只有在n=√(3n+1)+√(2n+1)或n=2×[√(3n+1)+√(2n+1)]时才对
在情况①，n为奇数。根据奇数的平方被4除都余1，显然就不对了。
情况②时，这时得n只有一个可取的，那就是40。
40|n情况成立。

Answer 3

2n+1则一定是奇数，3n+1未知，不妨设相差为n。那么只有在（1）n=√(3n+1)+√(2n+1)或（2）n=2×[√(3n+1)+√(2n+1)]时才成立；在情况（1），n为奇数。根据奇数的平方被4除都余1，舍去
情况（2）时，这时得n只有一个可取的，那就是40。
40|n情况成立。

Answer 4

40|n是什么意思