Question

已知函数f（x）=(x^2+2x+a)/x,x属于[1,+∞)

（1）当a=1/2时，求函数最小值
（2）若对任意x属于[1,+∞),f（x)>0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1) f(x)=(x^2+2x+1/2)/x=x+2+1/(2x)
函数定义域为 [1，+∞），且f(x)在 [1，+∞)上为增函数，
因此，函数最小值为 f(1)=1+2+1/2=7/2.
2) 由于x>0，所以，只须 x^2+2x+a>0在 [1，+∞）州喊并上恒成立。
因为 x^2+2x在 [1，+∞）上为增函数，且在 [1，+∞）上函数最小值为 1^2+2*1=3
所以，只须 3+a>0恒成立。
由此得 a的取册迹值范围是 a>-3。渗肆

Answer 2

（1）根据可惜不等式：f（x）=(x^2+2x+a)/x=x+2+a/x>=2+2*√x*√(a/高孙乱x)=2+2*√a=2+√2
（2）若对任意x属于[1,+∞),f（x)>0恒成立，则只要x^2+2x+a在[1,+∞)上恒大于零。所以分两种情况
1. 抛物线x^2+2x+a在x轴上方戚档，即与x轴没有交点。Δ=2^2-4*a<0，所以a>1
2. 抛物线x^2+2x+a与x轴的右交点要在（1，凯携0）点左侧，即Δ=2^2-4*a>=0且[-2+√(2^2-4*a)]/2<1，所以-3<a<=1
综合1、2，所以a>-3

追问

根据单调性解出的答案为什么不一样？

追答

我根据单调性解出的答案是一样的。
首先，求解f（x）=(x^2+2x+a)/x=x+2+a/x的单调性
设x1>x2
∴f(x1)-f(x2)=[x1+2+a/(x1)]-[x2+2+a/(x2)]=(x1-x2)+[a/(x1)-a/(x2)]=(x1-x2)+a*[(x2-x1)/x1x2]
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)*[1-a/x1x2]
∵x1>x2
∴f(x1)-f(x2)的正负取决于[1-a/x1x2]
当x1*x2>=a时，[1-a/x1x2]>0，f(x1)>f(x2)，f(x)单调递增
当x1*x2x2>=1
∴x1*x2>1
1. 当a1>=a，f(x)单调递增
∴若f(x)>0恒成立，只需要区间[1,+∞)上最小值f(1)>0
∴f(1)=(1+2+a)/1=a+3>0
∴a>-3
∴在第一种情况中，-31时，√a>1，区间[1,+∞)分为两个部分：[1,√a)和[√a,+∞)
在区间[1,a)上，√a>x1>x2
∴x1*x20恒成立，只需要区间[1,a)上最小值f(√a)>0
这里先不解f(√a)>0，先看区间[√a,+∞)
在区间[√a,+∞)上，x1>x2>√a
∴x1*x2>a，f(x)单调递增
∴若f(x)>0恒成立，只需要区间[√a,+∞)上最小值f(√a)>0
所以对于第二种情况（当a>1时），若f(x)>0恒成立，只需要f(√a)>0
∴f(√a)=(a+2√a+a)/(√a)=2√a+2>0
∵a>1
∴f(√a)=2√a+2>0恒成立
∴在第一种情况中，a>1

综上情况1、2，a>-3

说实在的，根据单调性求解这道题实在麻烦，如果题目要求这样的话，我只能说，辛苦你了，呵呵。

追问

我在第一问中先证出当a=0.5时函数单增，带入最小值是3.5，哪里做错了呢？
设x1>x2》1
∴f(x1)-f(x2)=[x1+2+a/(x1)]-[x2+2+a/(x2)]=(x1-x2)+[a/(x1)-a/(x2)]=(x1-x2)+a*[(x2-x1)/x1x2]
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)*[1-a/x1x2]<0,函数在1到正无穷大上是增函数
不等式法我们还没学......给你添麻烦了，谢谢！

追答

所以你的意思是，你的答案是a=0.5？

不是很明白你的做法，a=0.5时函数确实单调递增，此时函数最小值是3.5也是正确的，但这只是说明a=0.5的时候，对任意x属于[1,+∞)，f(x)恒大于零。但是题目问的是a的取值范围，你只说明了a可以取0.5，这是不是不太够啊？或者说你的答案a=0.5包含在我们的答案a>-3中，并不矛盾，只是你的答案不是a的全部取值范围。不知道这么说明不明白？呵呵，不明白再问吧。

Answer 3

(1)
f(x)=x+1/2x +2 易知 f(x) 在(√2/2 ,+∞敏竖 ) 是增函数
又x∈[1,+∞) 所以f(x)最小值桥芹大为 f(1)=7/2
(2)
f(x)=x+a/x +2
1) 当a<0 时 又f(x)>0恒成首型立 所以 x+2>-a/x x属于[1,+∞）
所以有 x^2+2x+a>0 令不等式左边为g(x) 则ming(x)=g(1)=3+a>0
即a>-3
此时有 0>a>-3
2) 当a≥0
明显 f(x)>0
所以综上所述 a 的取值范围是(-3,+∞)