Question

已知一个数列an的各项是1或2,首项为1.且在第k个1和第k+1个1之间有2^k—1个2，

即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，1，....，记数列的前n项和为Sn。
（1）试问第k个1为该数列的第几项
（2）求S2005
(3)是否存在正整数m,使得Sm=2005?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。

Answer 1

(1)令每个1与其后面所带的所有2为一组；若此1为第k个，则此组编号为k组，共有2^k项
第k个1为项数为n=2+2^2+...+2^(k-1)+1=2*[1-2^(k-1)]/(1-2)+1=2^k-1
(2)k=10时，第10个1为2^10-1=1023项
k=11时，第11个1为2^11-1=2048项
说明第2005项是第10组的第2005-1023=982个2
S2005=10*1+2*[(2-1)+(2^2-1)+...+(2^9-1)+982]=10+2*[2*(1-2^9)/(1-2)+982-9]=4000
(3)设n为第k个1所在项，则Sn=k+2*{2*[1-2^(k-1)]/(1-2)-(k-1)}=2^(k+1)-k-2
k=9时，Sn=1013 ; k=10时，Sn=2036>2005
(2005-1013)/2=496
说明m是第k=9个1后的第496个2所在项
m=(2^9-1)+496=1007