连续奇数平方和怎么算？
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1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(这是公式，课本上有的)
则
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……+(2n)^2=2n(2n+1)(2*2n+1)/6=n(2n+1)(4n+1)/3
即
[1^2+3^2+5^2+......+(2n-1)^2]+[2^2+4^2+6^2+.....+(2n)^2]=n(2n+1)(4n+1)/3
即
[1^2+3^2+5^2+......+(2n-1)^2]+4(1^2+2^2+3^2+......+n^2)=n(2n+1)(4n+1)/3将已知等式1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=n(n+1)(2n+1)/6代入
得
[1^2+3^2+5^2+......+(2n-1)^2]+2n(n+1)(2n+1)/3=n(2n+1)(4n+1)/3
所以
1^2+3^2+5^2+......+(2n1)^2
=
n(2n+1)(4n+1)/3-2n(n+1)(2n+1)/3
=n(2n+1)(2n-1)/3
(这是公式，课本上有的)
则
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……+(2n)^2=2n(2n+1)(2*2n+1)/6=n(2n+1)(4n+1)/3
即
[1^2+3^2+5^2+......+(2n-1)^2]+[2^2+4^2+6^2+.....+(2n)^2]=n(2n+1)(4n+1)/3
即
[1^2+3^2+5^2+......+(2n-1)^2]+4(1^2+2^2+3^2+......+n^2)=n(2n+1)(4n+1)/3将已知等式1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=n(n+1)(2n+1)/6代入
得
[1^2+3^2+5^2+......+(2n-1)^2]+2n(n+1)(2n+1)/3=n(2n+1)(4n+1)/3
所以
1^2+3^2+5^2+......+(2n1)^2
=
n(2n+1)(4n+1)/3-2n(n+1)(2n+1)/3
=n(2n+1)(2n-1)/3
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1^2+..+(2n-1)^2=(1/3)n(4n^2-1) 证明过程如下: 1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^2+2^2+...+(2n)^2=2n(2n+1)(4n+1)/6=n(2n+1)(4n+1)/3 2^2+4^2+...+(2n)^2=4(1^2+2^2+...+n^2)=4n(n+1)(2n+1)/6=2n(n+1)(2n+1)/3 1^2+3^2+...(2n-1)^2=[1^2+2^2+...+(2n)^2]-[2^2+4^2+...+(2n)^2] =n(2n+1)(4n+1)/3-2n(n+1)(2n+1)/3=n(2n+1)(2n-1)/3=(1/3)n(4n^2-1)
追问
那连续偶数的平方和呢？
追答
1/6 n (1 + n) (2 + n)
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