Question

三角函数 求证:tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A)

Answer 1

因为tan【(A-B)+(B-C)】=tan(A-C)=-tan（C-A)且tan【(A-B)+(B-C)】=[(tan(A-B)+tan(B-C)]/[1-tan(A-B)tan(B-C)]
所以tan(A-B)+tan(B-C)=tan【(A-B)+(B-C)】·[1-tan(A-B)tan(B-C)]=-tan（C-A)·[1-tan(A-B)tan(B-C)]
所以tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=-tan（C-A)·[1-tan(A-B)tan(B-C)]+tan(C-A)=tan(C-A){1-[1-tan(A-B)tan(B-C)]}=tan(C-A)tan(A-B)tan(B-C)
即tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A)

Answer 2

tan(A-B)+tan(B-C)= tan[(A-B)+(B-C)]*[1-tan(A-B)tan(B-C)]
==> tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)
= tan(A-C)[1-tan(A-B)tan(B-C)] +tan(C-A)
= -tan(A-C)tan(A-B)tan(B-C)

Answer 3

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanBtanA)
tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanBtanA)+(tanB-tanC))/(1+tanBtanC)+(tanC-tanA))/(1+tanCtanA)
通分得tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A)

Answer 4

http://wenwen.soso.com/z/q210230360.htm

Answer 5

结论：若α+β+γ=kπ(k∈Z)，
则 tanα+tanβ+tanγ=tanα*tanβ*tanγ.

证明：由和角公式，
tanα+tanβ=tan(α+β)*(1-tanα*tanβ)
=tan(kπ-γ)*(1-tanα*tanβ)
=-tanγ*(1-tanα*tanβ)
=-tanγ+tanα*tanβ*tanγ
因此，tanα+tanβ+tanγ=tanα*tanβ*tanγ。

对于此题，（A-B）+（B-C）+（C-A）=0，显然满足条件，
故有 tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=tan(A-B)*tan(B-C)*tan(C-A).