Question

已知函数f(x)=3ax-2x2+lnx,a为常数

若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围

Answer 1

（1）a≤1/3，f(x)单调递减；（2）a≥1/2，f(x)单调递增

f'(x)=3a-2x+1/x，
f(x)在区间[1,2]上要单调，则在此区间上，恒有f'(x)≤0，或者f(x)≥0
（1）若f'(x)≤0，即3a-2x+1/x≤0，即3a≤2x-1/x，若g(x)=2x-1/x，g'(x)=2+1/x²>0
即g(x)恒增，所以，若在在区间[1,2]上，3a≤2x-1/x恒成立，则3a≤g(x)min=g(1)=1，
解得a≤1/3，此时，f(x)单调递减；
（2）若f'(x)≥0，即3a-2x+1/x≥0，即3a≥2x-1/x，若g(x)=2x-1/x，g'(x)=2+1/x²>0
即g(x)恒增，所以，若在在区间[1,2]上，3a≥2x-1/x恒成立，则3a≥g(x)max=g(2)=3/2，
解得a≥1/2，此时，f(x)单调递增

说明：这里，需要利用二次求导。前面有人作答，显然，结论难以让人信服！
Hope this clarifies, and it will help you.

Answer 2

f'(x)=3a-4x+1/x
=(3ax-4x^2+1)/x
在(1,2)单调
(3ax-4x^2+1)/x 恒大于0 或很小于0

1. -4x^2+3ax+1≥0
a≥(4x-1/x)/3
a≥(2*4-1/2)/3=15/6

2. -4x^2+3ax-1≤0
a≤(4x-1/x)/3
a≤(1*4-1)/3=1

a =(-∞,1) (15/6,+∞)

Answer 3

原函数的导数为：f'(x)=3a-4x+1/x 若f(x)为单调函数 则f'(X)在区间[1,2]上《0 要不》0
因为f'(X)=3a-4x+1/x在区间[1,2]的值域为[3a-7.5,3a-3] 所以3a-7.5》0，或，3a-3《0
所以a》2.5 或a《1

Answer 4

333.65