Question

已知数列{an}满足：a1=1/2,3[1+a(n+1)]/1-an=2(1+an)/(1-an),{bn}满足：bn=[a(n+1)]^2-(an)^2,求an,bn.

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正确问题是：已知数列{an}满足：a1=1/2,3[1+a(n+1)]/1-an=2(1+an)/(1-an+1),{bn}满足：bn=[a(n+1)]^2-(an)^2,求an,bn.，并证明：数列{bn}中任意三项不可能成等差数列

Answer 1

3[1+a(n+1)]/[1-a(n)] = 2[1+a(n)]/[1-a(n+1)],
{1-[a(n+1)]^2}=(2/3){1-[a(n)]^2},
{1-[a(n)]^2}是首项为1-[a(1)]^2=3/4,公比为2/3的等比数列.
1-[a(n)]^2=3/4*(2/3)^(n-1),
[a(n)]^2=1-3/4*(2/3)^(n-1),
|a(n)| = [1-3/4*(2/3)^(n-1)]^(1/2).
b(n)=[a(n+1)]^2-[a(n)]^2 = 3/4*(2/3)^(n-1)-3/4(2/3)^n=3/4(2/3)^(n-1)[1-2/3]=1/4(2/3)^(n-1).
y=b(n)是n的指数函数,因此,任何3点[n,b(n)], [p,b(p)], [q,b(q)]都不共线.
所以,b(n),b(p),b(q)之间一定不存在线性组合关系.
但若b(n),b(p),b(q)构成等差数列. 则必有其中1项是另外2项的平均值.这样,就存在线性组合关系了.
矛盾.因此,数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.

Answer 2

题目好像错了，a1=1/2,3[1+a(n+1)]/1-an=2(1+an)/(1-an）中，1-an两边可以约掉

追问

速度解啊