Question

若关于x的方程ax+1/x^2=3有且只有一个正实根,则实数a的取值范围

Answer 1

分离变量 a=f(x)=1/x(3-1/x^2),f(x)为奇函数；因此仅分析(0,+∞)即可
判断单调性 求出各段值域：
求导可得在(0,1)单调递增，值域为(-∞,2);在(1,+∞)单调递减,值域为(0,2);
又f(x)为奇函数；所以当x<-1时值域为(-2,0),当-1<x<0时值域为(-2,+∞);
(求导过程不好书写，没有写下，对你应该不难）
x=-1,f(x)=-2; x=1,f(x)=2;
又关于x的方程ax+1/x^2=3有且只有一个正实根，将(0,1)段与(1,+∞)求并，将(-∞,-1)与(-1,0)求并，二者再求交。最后再去掉(0,1)段与(1,+∞)求交的部分。还要注意临值点±1处得值；
（看不过来的话，最好做图像，用一条平行于x轴的直线上下平移，取与图像只有一个交点并在正数的那一段的值域即可。）
注意：如果没注意到f(x)是奇函数，且x≠0，对f(x)在(-∞,+∞)中求导，会得出在(-1,+1)处递增的错误结果。在(-1,0)是递增，在(0,1)也是递增，但不能说在(-1,1)也一定是递增。
最后结果为(-∞,-2),-2不可取。
以上有很多只是便于你理解，在正式解题过程中不必列出，但有些我没写的要加上。

方法二：用极值法
f(x)=ax^3+1-3x^2,x≠0
f′(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2)
f(x)有两个极值点x=0，x=2/a；
当a>0,可进一步得出x=0是极大值点，则f(x)与x正轴有两个交点或没有交点，故舍弃；
当a=0,f(x)与x轴没有交点。
当a<0,f(x)在x=0处取极大值，在x=2/a处取极小值。只要f(x)的极小值大于0即可满足题意要求。
f(2/a)=8/a^2+1-12/a^2>0
a^2<4
a<-2
综上，a<-2;(解题的时候最好用图形加以说明）。