Question

在△ABC中,角B=60度，三角形ABC的角平分线AD、CE相交于O点。求证：AE+CD=AC。

Answer 1

如图，在AC上取一点F，使得AE=AF，连接OF

∵AD是三角形ABC的角平分线

∴∠EAO=∠FAO

∵AO=AO

∴△AEO≌△AFO（SAS）

∠AOE=∠AOF

∵CE是三角形ABC的角平分线

∴∠ACE=∠BCE

在△AOC中

∠AOC=180°-∠FAO-∠ACO=180°-1/2(∠ACB+∠BAC）=120°

∵∠AOE+∠AOC=180°

∴∠AOE=60°则∠COD=60°

∠COF=60°

∴∠COD=∠COF

∵CO=CO

∴△COD≌△COF(ASA)

CD=CF

∴AE+CD=AF+CF=AC

Answer 2

在AC上取一点F，使得AE=AF，连接OF

∵AD是三角形ABC的角平分线

∴∠EAO=∠FAO

∵AO=AO

∴△AEO≌△AFO（SAS）

∠AOE=∠AOF

∵CE是三角形ABC的角平分线

∴∠ACE=∠BCE

在△AOC中

∠AOC=180°-∠FAO-∠ACO=180°-1/2(∠ACB+∠BAC）=120°

∵∠AOE+∠AOC=180°

∴∠AOE=60°则∠COD=60°

∠COF=60°

∴∠COD=∠COF

∵CO=CO

∴△COD≌△COF(ASA)

CD=CF

∴AE+CD=AF+CF=AC

基本定义

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。

Answer 3

在AC上取一点F，使CD=CF，连接OF

∵∠ACE = ∠BCE OC=OC

∴△ODC≌△OCF

∵∠B=60°

∴∠A+∠C=120° ∠DAC+∠ACE=∠DOC=∠COF=∠AOE=60°

∴∠AOF=180°-∠DOC - ∠COF =60°

∴∠AOF=∠AOE

又∵∠BAD=∠CAD  OA=OA

∴△AOE≌△AOF

∴AE=AF

那么AE+CD=AF+CF=AC

Answer 4

在AC上截取CF=CD，△ODC≌△COF，因为∠B=60°，∠BAC+∠BCA=120°
AD、CE是角平分线，∠CAD+∠ECA=60°=∠COD=∠COF，∠AOF=60°=∠AOE，
再证△AOE≌△AOF，AF=AE，AE+CD=AC

Answer 5

我老师跟我说是不一定的，只有AB=AC时好像成立，看上面的证得。。我也迷糊