Question

已知√(16-x^2)-√（4+x^2)=2,求√(16-x^2)+√（4+x^2)的值

Answer 1

函数f(x) = √(16-x^2)-√（4+x^2) 在(0,4)上单调递减 在(-4,0)上单调递增。
所以f(x)的最大值为 f(0) = 2。 所以仅当x = 0时，√(16-x^2)-√（4+x^2)=2。
所以√(16-x^2)+√（4+x^2) = 4 + 2 = 6。

追问

这个貌似和函数没什么关系，√这个代表根号，我才初二

追答

可以用函数的观点解这道题嘛。。。

初二应该学到函数了，不知道单调性的话稍微给你解释一下。。。

在x > 0这个范围内，√(16-x^2)的值会随着x的增大而减小。(x越大,则x^2越大，16-x^2则越小，√(16-x^2)也就越小),同理-√（4+x^2)也随x的增大而减小(x越大,则x^2越大，√（4+x^2)也越大, -√（4+x^2)就越小了）
在x < 0这个范围内，情况则相反。
总地来说，结果就是√(16-x^2)-√（4+x^2) 在-4 <= x < 0的时候随x 变大而变大，在0 < x <=4的时候随x变大而变小。所以只有x = 0的时候，√(16-x^2)-√（4+x^2)取得最大值2。
根据以上的分析，√(16-x^2)-√（4+x^2)=2 的解只有 x = 0。 然后代进去后面的式子求值就是了。

Answer 2

√(16-x^2)-√（4+x^2)=2
[√(16-x^2)-√（4+x^2)]^2=4
打开就是16-x^2+4+x^2+2(16-x^2)(4+x^2)=4 根据公式（a+b）^2=a^2+b^2+2ab
16-x^2+4+x^2-2(16-x^2)(4+x^2)=20-2(16-x^2)(4+x^2)=4
所以(16-x^2)(4+x^2)=8
[√(16-x^2)+√（4+x^2)]^2=16-x^2+4+x^2+2(16-x^2)(4+x^2)=20+16=36
因为√(16-x^2)+√（4+x^2)>0
所以√(16-x^2)+√（4+x^2)=6