Question

一道高中数学题，做做看，谢啦~

已知y=2x是ΔABC中∠ACB的角平分线所在直线的方程，且A,B的坐标分别A(-4,2),B为(3,1),求点C的坐标,并判断ΔABC的形状.

Answer 1

令C(x,2x)
∵直线Y=2X是三角形ABC中角C的平分线所在直线，
∴点A到直线距离：点B到直线距离=AC：BC，
∴((x+4)^2+(2x-2)^2)/((x-3)^2+(2x-1)^2)=(-8-2)^2/(6-1)^2
即x=2/3或x=2
x=2/3（不合题意，舍去）
∴x=2
∴C(2,4)
KAC*KBC=-1 （k是斜率）
∴三角形ABC是以C为直角的直角三角形

Answer 2

解：由题意，点A关于直线y=2x的对称点A′在BC所在直线上，
设A′点坐标为（x1，y1），
则x1、y1满足(y1-2)/(x1+4)=-1/2，即x1=-2y1．①(y1+2)/2=2•(x1-4)/2，即2x1-y1-10=0．②
解①②两式组成的方程组，得x1=4，y1=-2．
∴BC所在直线方程为(y-1)/(-2-1)=(x-3)/(4-3)，
即3x+y-10=0．得
解方程组
3x+y-10=0，x=2，
y=2x，y=4．
∴所求C点坐标为（2，4）．
由题意|AB|²=50，|AC|²=40，|BC|²=10，
∴△ABC为直角三角形．