Question

2.已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时f﹙x﹚＜0恒成立f﹙3﹚＝﹣3

﹙1﹚证明∶函数y＝f﹙x﹚是R上的减函数；﹙2﹚证明∶函数y=f﹙x﹚是奇函数；
﹙3﹚试求函数y=f﹙x﹚在[m,n]﹙m,n∈Z﹚上的值域。

Answer 1

f(x)=f(0+x)=f(0)+f(x), 0=f(0).
0=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x), f(-x)=-f(x). f(x)为奇函数.
x>y时,x-y>0, f(x-y)<0.
f(x)-f(y)=f[y+(x-y)]-f(y)=f(x-y)<0. f(x)<f(y), f(x)单调递减.
3f(1)=f(1)+[f(1)+f(1)]=f(1)+f(2)=f(3)=-3, f(1)=-1.
下面用归纳法证明: 当n是自然数时,f(n)=-n.
n=1时,结论成立.
设n=k时,结论成立,则f(k)=-k.
当n=k+1时,f(k+1)=f(1)+f(k)=-1-k=-(k+1).结论也成立.
所以,由归纳法知,当n是自然数时,f(n)=-n.
当m是自然数时,f(m)=-m.
由f(x)单调递减知,
y=f﹙x﹚在[m,n]﹙m,n∈Z﹚上的值域为[-n,-m]

Answer 2

证明一：设x、y为R上任意两实数，且x>y
f(x)-f(y)=f(x-y+y)-f(y)
=f(x-y)+f(y)-f(y)
=f(x-y)>0
得证
证明二：f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) 所以f(0)=0
对任意x∈R,f(x)+f(-x)=f(x-x)=0
证明三：f(2)=2*f(1);f(3)=3*f(1),f(1)=-1
n>0时， f(n)=f(n-1)+f(1)=f(n-1)-1,又f(3)=-3
所以f(n)=-n。又y=f(x)为奇函数。所以f(-n)=-n
故值域为[-n,-m]

Answer 3

这太简单了吧，f(-x)<0且小于f(x)