Question

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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M和N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=根号2/3a
1）求证：MN//平面BB1C1C
2)求MN与平面ABB1A1所成角的正弦值
要详细解答过程！

Answer 1

⑴过点M作ME∥BB1交AB于点E
∴AE/AB＝A1M/A1B＝1/3
而A1M＝AN，A1B＝AC
∴AE/AB＝AN/AC＝1/3
∴NE∥BC
∵BC属于平面BB1C1C
∴EN∥平面BB1C1C
同理：ME∥平面BB1C1C
而ME∩NE＝E
∴平面MNE∥平面BB1C1C
∴MN∥平面BB1C1C

⑵∵BC⊥平面ABB1A1，NE∥BC
∴NE⊥平面ABB1A1
∴∠NME为直线MN与平面ABB1A1所成的角
由⑴知ME/AA1＝BM/A1B＝2/3，得：ME＝2/3AA1＝2a/3
同理由NE/BC＝AN/AC＝1/3，得：NE＝1/3BC＝a/3
∴MN＝√(ME^2＋NE^2)＝√5a/3，从而sin∠NME＝NE/MN＝√5/5

Answer 2

（1）过点M作ME//BB1交AB于点E
∴AE//AB＝A1M//A1B＝1/3
而A1M＝AN，A1B＝AC
∴AE//AB＝AN//AC＝1/3
∴NE//BC
∵BC属于平面BB1C1C
∴EN//平面BB1C1C
同理：ME//平面BB1C1C
而ME∩NE＝E
∴平面MNE//平面BB1C1C
∴MN//平面BB1C1C

（2）∵BC⊥平面ABB1A1
NE//BC
∴NE⊥平面ABB1A1
∴∠NME为直线MN与平面ABB1A1所成的角
由（1）知ME//AA1＝BM//A1B＝2/3，得：ME＝2/3AA1＝2a/3
同理由NE//BC＝AN//AC＝1/3，得：NE＝1/3BC＝a/3
∴MN＝√(ME^2＋NE^2)＝√5a/3，
sin∠NME＝NE/MN＝√5/5

Answer 3

（1）过M,N作A1B1和AB的平行线 分别交BB1,BC于P,Q
根据各个线段的长度能求出来MPQN是平行四边形，根据线面平行，即证
（2）MN平行于面BB1C1C，面BB1C1C⊥平面ABB1A1，所以MN⊥平面ABB1A1，sinθ=1