Question

已知函数f（x）=ln（1+x）/（1-x），求定义域，f（x）大于0的取值范围，证明其单调性

Answer 1

解：1、 定义域：即（1+x）/（1-x）>0，解得 ：-1<x<1
2、f（x）大于0的取值范围:即ln（1+x）/（1-x）>0
所以：（1+x）/（1-x）>1，解得：x>0
又：-1<x<1
所以：f（x）大于0的取值范围：0<x<1
3、单调性
证明：先讨论f(x)在区间(-1 0]上的单调性
设：x1<x2
则：ln[(1+x1)/(1-x1)]-ln[(1+x2)/(1-x2)]=ln[(1+x1-x2-x1x2)/(1+x2-x1-x1x2)]
讨论：f(x1)-f(x2)=[(1+x1-x2-x1x2)/(1+x2-x1-x1x2)]-1=2（x1-x2）/(1+x2-x1-x1x2)
因为-1<x1<x2<=0，故：x1-x2<0，1+x2-x1-x1x2>0
所以：2（x1-x2）/(1+x2-x1-x1x2)<0
即：[(1+x1-x2-x1x2)/(1+x2-x1-x1x2)]<1
所以：ln[(1+x1-x2-x1x2)/(1+x2-x1-x1x2)]<0
所以：f(x1)-f(x2)<0，即：f(x1)<f(x2)
所以：f(x)在区间(-1 0]上单调递增。
同理可证f(x)在区间(0 1）上也是单调递增
所以f(x)在区间(-1 1)上是单调递增函数

Answer 2

①1+x>0,1-x≠0得：x∈（-1,1）∪（1，+无穷）
②f（x）大于0即（x-1）×ln（x+1）<0，可得x∈（0,1）
③因为f'（x）=【（1-x/1+x）+ln（1+x）】/（1-x）的平方
在定义域x∈（-1,1）∪（1，+无穷）里，f'（x）恒大于0，
所以f（x）在其定义域上为单调增函数

Answer 3

t=（1+x）/（1-x）>0
定义域 -1<x<1
f（x）=ln（1+x）/（1-x）>0
t=（1+x）/（1-x）>1
x的取值范围0<x<1
单调性证明请您参考我的BLOG
函数ok系列之十五:复合函数单调性判断法则及其证明
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/c4c9ecc9e5e03d117f3e6f15.html