Question

设离散型随机变量X，可能取值为1，2，3……，如果P(X=k)对k单调不增，证明：P(X=k)<= 2E(X)/k^2

华科的概率论与数理统计习题4.3，没头绪，求指导，感谢万分！

Answer 1

我只是高中生，但我懂点概率，我觉得我的方法可以
解法如下
首先当k=1时成立，因为E（x）>0，E（x）=1×P（x=1）+2×P（x=2）+……
而1×P（x=1）<E（x） 故1×P（x=1）<2×E（x）
接下来我要用数学归纳法，框架你应该都懂，我不赘述了，只不过也用反证法。
我这些出核心步骤，即递推
假设当n=k时不成立（n=k-1时成立）
即k×P（x=k）>2×E（x）/k （把一个k乘过去）②
而且（k-1）×P（x=k-1）>2×E（x）/k-1
因为E（x）=1×P（x=1）+2×P（x=2）+……+ k×P（x=k）+……
, k×P（x=k）>2×E（x）/k
故1×P（x=1）+2×P（x=2）+……+（k-1）×P（x=k-1）<(k-2)× E（x）/k ①
由题中条件单调不递增可知P（x=1）>=P（x=2）>=……>= P（x=k-1）
对①进行放缩，往小放缩，可知
1×P（x=k-1）+2×P（x=k-1）+……+（k-1）×P（x=k-1）<(k-2) × E（x）/k
即k×(k-1)×P（x=k-1）/2 <(k-2) × E（x）/k
故P（x=k-1）< 2×(k-2) × E（x）/ (k×k×(k-1))
而由②可知P（x=k）> 2×E（x）/(k×k)
易证2×E（x）/(k×k) > 2×(k-2) × E（x）/ (k×k×(k-1))
故P（x=k-1）< P（x=k）
这与已知矛盾，故假设不成立，即当n=k-1成立时n=k也成立，而且当n=1时成立，
故命题得证。
都是手打的，好累。你觉得可以就采纳吧

Answer 2

∑k^2*P(X=k)=E(X^2)=D(X)+E(X)^2