Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别为AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别为AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H
求证EG=HF

详细过程

下面上图

Answer 1

是等腰梯形吗？
如果是
解：

方法一
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB
在△ABC和△DCB中
AB=CD（已证）
∠ABC=∠DCB（已证）
BC=CB（公共边）
∴△ABC≌△DCB
∴∠BAC=∠CDB
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴AE=AB/2，DF=CD/2且EF∥BC
∴∠AEF=∠ABC,∠DFE=∠DCB
∵AB=CD,∠ABC=∠DCB
∴AE=DF,∠AEF=∠DFE
在△AEH和△DFE中
∠BAC=∠CDB（已证）
AE=DF（已证）
∠AEH=∠DFG
∴△AEH≌△DFE
∴EH=GF
即EG+GH=GH+HF
∴EG=HF

方法二
∵在梯形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点
∴EF∥BC且AE∶AB=1∶2，DF∶DC=1∶2
∴∠ABC=∠AEH,∠DCB=∠DFG
且∠BAC=∠EAH,∠BDC=∠GDF
∴△ABC∽△AEH,△DBC∽△DGF
∴EH∶BC=1∶2，GF∶BC=1∶2
∴EH/BC=GF/BC=1/2
∴EH=GF
即EG+GH=GH+HF
∴EG=HF

关于：∵梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别为AB、CD的中点
∴EF∥AB
见梯形中位线

追问

第一它没说是等腰梯形
第二我还没学相似三角形呢

还有别的方法么。

追答

第一没说是等腰梯形方法一是错的
第二我只会用相似做

我也想知道别的方法

追问

诶咿呀。 你现在几年级？要不向你同学问问呗。
我也觉得这题挺别扭

追答

方法三：
∵梯形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点
∴EF∥AB
且E、F分别为AB、CD的中点
∴EG=AD/2，HF=AD/2(三角形中位线性质)
∴EG=HF

追问

他没说G、F是中点

追答

∵梯形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点
∴G，H是BD，AC的中点（梯形中位线性质）
且E、F分别为AB、CD的中点

Answer 2

证明：∵梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别为AB、CD的中点
∴EF∥AB
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴EH=BC/2=FG
∴EG=EH-GH=FG-EH=HF

追问

∴EF∥AB
这一步就错了

∴EH=BC/2=FG
怎么来的？