Question

高中数学排列组合的一个问题

6位志愿者分成4组，人数分别为2人，2人，1人，1人，分赴四个展览馆服务
有几种分配方法？

我只想问一问，这类需要分组再排列的题，分组的情况多少种怎么求？怎么确定除以什么才能保证分组不重复？

Answer 1

这是类先分组后分配的问题，解决办法是先组合后排列
(C62C42C21C11)/A22A22=45
45*A44=1080(期中C62表示6个取2个）

追问

就是想求解释为啥最后一定要除以A22A22才能保证不重复

追答

这是平均分组问题，举例如下
abcd
分两组：1、先选ab为一组：cd为另一组
2、 先选ac为一组：bd为另一组
3、 先选ad为一组：bc为另一组
4、 先选bc为一组：ad为另一组
……
……
你会发现你列出来的有重复，比如3和4就重复了，
均分问题是分几组就除以几的阶乘
2 2 1 1，有两个2，有两个1，说明是两次分成相同的组，除以A22A22才算正确

Answer 2

一、分组
第一组C(2,6)=15
第二组C(2,4)=6
共有分组法16*6=90种
二、分配到四个展馆
90*P(4,4)= 90*24=2160

Answer 3

只要是平均分组都得除。
C62 *C42 *C21* C21/(2！*2!)＊A44
因为有两个2人组，所以除了一个2！，两个1人组，再除了一个2！，四个錧，所以乘了A44

追问

我开始是像dream351那位大哥那样做的，谁能理性分析一下为啥是重复的？（不要举例，分析原因即可）

Answer 4

1080种

追问

呐?这不和我做得一样了么……
重复了哎

追答

重复的原因：
假设这四组分别是ABCD
那么BACD和ABCD是相同的
ABCD和ABDC也是相同的
两个相同的，相同一次要除以一次A22，相同两次需要除以两次A22。

先将6名志愿者分为4组，共有C62*C42*C22*C11/A22*A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C62*C42*C22*C11/A22*A22•A44＝1 080种

说除以A22其实就是除以2，要是在“排队”的问题中就不需要除以2了，因为第一和第二是不一样的，在此题中因为第一组和第二组不存在第一和第二的问题，也就是说谁当第一无所谓，谁当第二也无所谓，反正都在一组中。第三、第四也是同理。

假设这6个人是①②③④⑤⑥
假设第一次这样选：C62选的是①② C42选的是③④
第二次C62选的是③④ C42选的是①②
那么这两次就相同了，因为都在同一组中，所以才需要除以A22的，这个A22就是①②和③④之间前后顺序的排列种类。
C21和C11也是同理。

下面这道题目就不存在重复的问题，也就不需要除以A22了：
10位志愿者分成4组，人数分别为1人，2人，3人，4人，分赴四个展览馆服务，有几种分配方法？
答案：(C101*C92*C73*C44)•A44

为什么这道题目不存在重复，最关键的问题就是“1人，2人，3人，4人”，这四个数字各不相同，所以不会重复。而原题中2人和2人、1人和1人都重复了。

Answer 5

(1)项数有a55=120项。(2)不妨设1在万位上，不同的数有4x3x2x1=24个，所以1在每一位都有24种不同的数，同理其它4个数在每一位都有24种，所以和为[24(1
2
3
4
5)]x(10000
1000
100
10
1)=3999960