Question

已知关于X的方程X²-(M²+2M-3)X+2(M+1)=0的两个实数根互为相反数 （1）求实数M的值 ；

(2)若关于X的方程X²-(k+M)X-3M-K-5=0的根均为整数，求出所有满足条件的实数k.

Answer 1

（1）由已知可得，方程有两不等的实根，两实根互为相反数，
则由韦达定理可得，x1+x2=-b/a=M²+2M-3=0，即(M+3)(M-1)=0
解得，M=-3或M=1
同时，须满足 x1*x2=c/a=2(M+1)<0（两根异号，积必须为负）
显然，当M=1时，上不等式不成立，故M=1为增根；M=-3符合题意，
故，实数M=-3。
（2）M=-3，则（2）中方程应为：X²-(k-3)X+4-K=0
方程有实根，则⊿=[-（k-3）]² - 4*1*（4-k）≥0 （未说明是两相等实根与否，可取"="）
解此不等式可得，k≥1+2√2或k≤1-2√2
两根均为整数，则x1+x2=k-3为整数，k必为整数；x1*x2=4-k，k为整数，4-k为整数。
所以，k≥4>1+2√2>3，或者k≤-2<1-2√2，经验证，当且仅当k=4，或k=-2时符合题意.
即k的取值为k=4，或k=-2

Answer 2

x1+x2=k+m=0
k=-m
X²-3M+m-5=0
X²-2m-5=0
2m+5＞0
m＞-5/2

Answer 3

（1）∵两根相加等于0 ∴x²+2M+2=0
根据韦达定理 当M=1时，x无解
∴M²+2M-3=0 当M=-3时，x=±2
解得M1=-3 M2=1 ∴M=-3
∵M²+2M-3=0 （2）不会可不可以？
∴方程X²-(M²+2M-3)X+2(M+1)=0
化简为x²+2（M+1）=0

Answer 4

解：1）设两根分别为X1和X2，两个实根互为相反数，则：
X1+X2=0，X1*X2
即：M²+2M-3=0，M+10；
得M=-3。
2）设两根分别为X3和X4，由于根均为整数，则：
Δ﹦[-(K-3)]²-4*1*（4-K)≥0，
∴K≥4，K≤-2。
根号Δ也为整数，K=-3或5