Question

双曲线上的任意一点到两定点的距离是多少啊？双曲线的性质也请详细的说一下吧！谢谢~

Answer 1

这个百度百科里有呢~~~
双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
·双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。 　　
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。 　　
3、顶点：A(-a,0)， A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且∣AA'│=2a. 　　B(0,-b)， B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b. 　　
4、渐近线： 　　　焦点在x轴：y=±(b/a)x. 　　焦点在y轴：y=±(a/b)x.
圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角 　　令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e) 　　令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 　　令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 　　这两个x是双曲线定点的横坐标。 　　求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） 　　x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　（注意化简一下） 　　直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。 　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’ 　　则θ’=θ-[PI/2-arccos(1/e)] 　　则θ=θ’+[PI/2-arccos(1/e)] 　　代入上式： 　　ρcos{θ’+[PI/2-arccos(1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　即：ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　现在可以用θ取代式中的θ’了 　　得到方程：ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　现证明双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1 上的点在渐近线中 　　　设M(x,y)是双曲线在第一象限的点，则 　　y=(b/a)√(x^2-a^2) (x>a) 　　因为x^2-a^2<x^2,所以y=(b/a)√(x^2-a^2)<b/a√x^2=bx/a 　　即y<bx/a 　　所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方 　　根据对称性第二、三、四象限亦如此 　　
5、离心率： 　　第一定义： e=c/a 且e∈(1，+∞). 　　第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e. 　　d点│PF│/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e 　　
6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 　　左焦半径：r=│ex+a│　 　　右焦半径：r=│ex-a│ 　　
7、等轴双曲线 　　一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2 　　这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴） 　
　8、共轭双曲线 　　双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。 　　几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S'：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 　　特点：（1）共渐近线 　　（2）焦距相等 　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 　　
9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c 　　焦点在y轴上：y=±a^2/c 　　
10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦） 　　d=2b^2/a　 　　
11、过焦点的弦长公式： 　　d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 　　
12、弦长公式： 　　d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下： 　　由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 　　得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 　　分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 　　稍加整理即得： 　　|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²) 　　·双曲线的标准公式与反比例函数 　　　X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 　　而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 　　但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 　　因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴 　　所以应该旋转45度 　　设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针） 　　(a为双曲线渐进线的倾斜角) 　　则有 　　X = xcosa + ysina 　　Y = - xsina + ycosa 　　取 a = π/4 　　则 　　X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 　　= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 　　= 4 (√2/2 x) (√2/2 y) 　　= 2xy. 　　而xy=c 　　所以 　　X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) 　　Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 　　由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.编辑本段·双曲线焦点三角形面积公式
　　若∠F1PF2=θ, 　　则S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2) 　　·例：已知F1、F2为双曲线C：x^2;-y^;=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 　　少？ 　　解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2)=1×cot30°， 　　设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2

追问

你能帮我解决一下这个问题么？
双曲线x2/a2-y2/b2=1(a大于0b大于0)的两个焦点为f1 f2 若 p 为双曲线上的一点 且pf1 的绝对值等于pf2 的绝对值，则双曲线的离心率取值范围是

追答

你能说的详细一点吗？p为双曲线上的点，可是为什么pf1 的绝对值等于pf2 的绝对值呢？到焦点距离相等的点只可能出现在 没有焦点的那条坐标轴上呢~~~~

你能说的详细一点吗？p为双曲线上的点，可是为什么pf1 的绝对值等于pf2 的绝对值呢？到焦点距离相等的点只可能出现在 没有焦点的那条坐标轴上呢~~~~

追问

对不起啊 我忘记写了pf1的绝对值 等于二倍pf2的绝对值

追答

因为 pf1的绝对值等于二倍 pf2绝对值 即 pf1= 2*pf2 又因为 pf1 - pf2 = 2*a 所以 pf2 = 2*a
所以：（x-c）^2 + y ^2 = 4 * a ^2
所以: x^2 + c^2 - 2*c*x + y^2 = 4* a^2
因为 x2/a2-y2/b2=1 所以 y^2 = ( x^2 / a^2 -1) * b^2 代入上式得：
x^2 + c^2 - 2*c*x + ( x^2 / a^2 -1) * b^2 = 4* a^2 化简（可以用c^2= a^2+b^2）得：
x*c/a = （1+ 根号下2）*a 因为 e = c/a
即：x*e= （1+ 根号下2）*a
所以e= （1+ 根号下2）*a / x
因为 x=a
所以e= （1+ 根号下2）
因为e >=0 所以
e >= （1+ 根号下2)

Answer 2

双曲线上任意一点到两焦点的距离差的绝对值等于常数2a