Question

函数f(x)=lg（√x2+1 –x）的奇偶性与单调性

求详解

Answer 1

奇偶性只要看f(-x)等于多少
我想函数应该是lg（√(x^2+1) -x）
很显然f(-x)=lg（√(x^2+1) +x）= lg[1/（√(x^2+1) -x）]=-lg（√(x^2+1) -x）=-f(x)是奇函数
至于单调性，因为lg（√(x^2+1) -x）=lg[1/（√(x^2+1) +x）] = -lg（√(x^2+1) +x）
显然，当x增加时√(x^2+1) +x也单调增加，所以lg√(x^2+1) +x单调增加，所以f(x)=-lg（√(x^2+1) +x）单调减

Answer 2

解：显然函数的定义域是R
f(-x)=lg(（√(-x)^2+1）+x）
=lg(√x^2+1-x)（√(-x)^2+1）+x）/(√x^2+1-x)
=lg1/(√x^2+1-x)
=-lg（√x2+1 –x）=-f(x)
所以函数f(x)=lg（√x2+1 –x）是奇函数
任取x1,x2属于R,且x1<x2
f(x2)-f(x1)= lg（√x2^2+1 –x2）- lg（√x1^2+1 –x1）
=lg（√x2^2+1 –x2）/（√x1^2+1 –x1）
=lg（√x1^2+1 +x1）/（√x2^2+1 +x2）
因为x1<x2,所以（√x1^2+1 +x1）<（√x2^2+1 +x2）
所以（√x1^2+1 +x1）/（√x2^2+1 +x2）<1
所以lg（√x1^2+1 +x1）/（√x2^2+1 +x2）<0，f(x1) >f(x2)
所以函数f(x)=lg（√x2+1 –x）在R上是减函数。

Answer 3

一、判断函数奇偶性需要两个条件：
1、定义域关于原点对称；2、满足f(－x)=f(x)的话是偶函数，满足f(－x)=－f(x)的话就是奇函数。

这个题目的问题是：你在计算f(－x)时，无法解决，或者说看不出到底是等于f(x)呢还是等于－f(x)

方法：奇函数的判断除了可以用f(－x)=－f(x)来判断外，还可以用其等价的f(－x)＋f(x)=0来实施。

解：此函数定义域是R，且f(－x)＋f(x)=lg【M】＋lg【N】=lg【M×N】，你发现M×N=1，即有：
f(－x)＋f(x)=0，此函数是奇函数。

二、将原函数的真数分子有理化，即：f(x)=lg[1/√(x²＋1)＋x]，由于是奇数，那只要看一下x>0时的单调性就可以了。。真数的分母递增，则真数递减，从而f(x)在x>0时递减。