Question

已知圆C过点P(1,1),且与圆M(x+2)^2+(y+2)^2=r^2 (r>0)关于直线x+y+2=0对称 (1)求圆c的方程

（2）设Q为圆上一个动点求向量PQ×向量MQ的最小值

Answer 1

(1) P点关于x+y+2=0的对称点为：（-1，-3），由题意可知这个点在圆M上代入方程
求出r²=1+1=2,也就是说圆C的半径r²=2，M点（-2，-2）关于x+y+2=0的对称点为原点，也是C点
所以圆C的方程为：x^2+y^2=2

(2 )可以用参数方程：设Q的坐标为：（√2cosθ，√2sinθ）
PQ=（√2cosθ-1，√2sinθ-1) MQ=（√2cosθ+2，√2sinθ+2)
PQ×MQ=2cos²θ-2+√2cosθ+2sin²θ-2+√2sinθ=√2sinθ+√2cosθ-2=2sin(θ+π/4)-2
所以最小值为-4

Answer 2

首先圆心对称，易得圆C的圆心坐标为（0,0），圆心到点P的距离为根号2(半径r)，顾得圆C的方程为：
x^2+y^2=2