Question

已知x1,x2是关于x的方程（x-2）（x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根。 （1）求x1,x2的值；

（2）若x1,x2是某直角三角形的两直角边长，问当实数m,p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出最大值。

Answer 1

解：（1）(x - 2)(x - m) = (p - 2)(p - m)
展开得：x^2 - mx - 2x + 2m = p^2 - mp - 2p + 2m
消去相同项 2m ：
x^2 - mx - 2x = p^2 - mp - 2p
x^2 - p^2 - mx - 2x + mp + 2p = 0
提取后两项的公因式 (m+2) ：
x^2 - p^2 - [(m + 2)x - (m + 2)p] = 0
运用平方差公式，同时提取后两项的公因式 (x-p) ：
(x + p)(x - p) - (x - p)(m + 2) = 0
提取公因式 (x-p) ：
(x - p)(x + p - m - 2) = 0
因此：
x1 - p = 0
x2 + p - m - 2 = 0
易得：
x1 = p
x2 = -p + m + 2
（2）
若x1、x2是某直角三角形的两直角边的长，设该直角三角形的面积为S，则有：
S = p(-p + m + 2)
配方：
S = -p^2 + mp + 2p
= -p^2 + (m + 2)p
= -{p^2 - 2*[(m + 2)/2]p + [(m + 2)/2]^2 - [(m + 2)/2]^2}
= -[p - (m + 2)/2]^2 + (m + 2)^2/4
= -[p - (m/2 + 1)]^2 + (m^2 + 4m + 4)/4
= -[p - (m/2 + 1)]^2 + (m^2)/4 + m + 1

∵ 二次项系数 a = -1 < 0
∴ S 有最大值
当 p = m/2 + 1 时，
S 有最大值 (m^2)/4 + m + 1

∵ 在该直角三角形中，p > 0
即 m/2 + 1 > 0
∴ m > -2

答：x1 = p，x2 = -p + m + 2；
当 m > -2 且 p = m/2 + 1 时，此直角三角形的面积最大，最大值为[(m^2)/4 + m + 1]。

Answer 2

解：（参考采纳回答）
（1）(x - 2)(x - m) = (p - 2)(p - m)
展开得：x^2 - mx - 2x + 2m = p^2 - mp - 2p + 2m
消去相同项 2m ：
x^2 - mx - 2x = p^2 - mp - 2p
x^2 - p^2 - mx - 2x + mp + 2p = 0
提取后两项的公因式 (m+2) ：
x^2 - p^2 - [(m + 2)x - (m + 2)p] = 0
运用平方差公式，同时提取后两项的公因式 (x-p) ：
(x + p)(x - p) - (x - p)(m + 2) = 0
提取公因式 (x-p) ：
(x - p)(x + p - m - 2) = 0
因此：
x1 - p = 0
x2 + p - m - 2 = 0
得：
x1 = p
x2 = -p + m + 2
（参考采纳回答）

（2）∵在矩形中，长宽之和相等时，长宽长度越接近，矩形面积越大，
∴正方形面积最大，
同理，直角三角形中等腰直角三角形面积最大。
SRt△=0.5*x1*x2=0.5*p*(-p+m+2)
∵x1=x2时面积最大，
∴p=-p+m+2
p=m/2+1
S=p²=(m/2+1)²
=m²/4+m+1
答：当p=m/2+1时直角三角形面积最大，为m²/4+m+1

ps：其实答案算出来是一样的，只不过我的这个更加简便一点，配方配这么久看得我都烦，还容易错。开头那个定理小学老师应该就讲过了，应该可以用的。

Answer 3

解：（1）原方程变为：x2-（m+2）x+2m=p2-（m+2）p+2m，
∴x2-p2-（m+2）x+（m+2）p=0，
（x-p）（x+p）-（m+2）（x-p）=0，
即（x-p）（x+p-m-2）=0，
∴x1=p，x2=m+2-p；
（2）根据（1）得到
直角三角形的面积为1 2 x1x2=1 2 p（m+2-p）
=-1 2 p2+1 2 （m+2）p
=-1 2 （p-m+2 2 ）2+(m+2)2 8 ，
∴当p=m+2 2 且m＞-2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为(m+2)2 8 ．

Answer 4

（i）用位置互换相等得：x1=p x2=m-p+2
（2）设函数y=p（m-p+2）（p〉0： m-p+2〉0）
则y=-p平方+mp+2p
这个是看成为以p为未知数的，m为某一个已知数的一元二次函授
最大值时的m与p的条件就可以简单求一下。

Answer 5

解：（1）(x - 2)(x - m) = (p - 2)(p - m)
展开得：x2 - mx - 2x + 2m = p2 - mp - 2p + 2m
消去相同项 2m ：
x2 - mx - 2x = p2 - mp - 2p
x2 - p2 - mx - 2x + mp + 2p = 0
提取后两项的公因式 (m+2) ：
x2 - p2 - [(m + 2)x - (m + 2)p] = 0
运用平方差公式，同时提取后两项的公因式 (x-p) ：
(x + p)(x - p) - (x - p)(m + 2) = 0
提取公因式 (x-p) ：
(x - p)(x + p - m - 2) = 0
因此：
x1 - p = 0
x2 + p - m - 2 = 0
易得：
x1 = p
x2 = -p + m + 2
（2）
若x1、x2是某直角三角形的两直角边的长，设该直角三角形的面积为S，则有：
S = p(-p + m + 2)
配方：
S = -p2 + mp + 2p
= -p2 + (m + 2)p
= -{p2 - 2[(m + 2)/2]p + [(m + 2)/2] 2 - [(m + 2)/2] 2}
= -[p - (m + 2)/2]2 + (m + 2)2/4
= -[p - (m/2 + 1)]2 + (m2 + 4m + 4)/4
= -[p - (m/2 + 1)]2 + (m2)/4 + m + 1

∵ 二次项系数 a = -1 < 0
∴ S 有最大值
当 p = m/2 + 1 时，
S 有最大值 (m2)/4 + m + 1

∵ 在该直角三角形中，p > 0
即 m/2 + 1 > 0
∴ m > -2

答：x1 = p，x2 = -p + m + 2；
当 m > -2 且 p = m/2 + 1 时，此直角三角形的面积最大，最大值为[(m2)/4 + m + 1]。