Question

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2-bx(a,b∈R),若y=f(x)在区间[-1,2]上是单调减函数,求a+b的最小值.

要有过程的

Answer 1

设A={x|f '(x)=x^2+2ax-b<=0}，则 [-1，2]是A的子集，
所以 { f '(-1)=1-2a-b<=0 (1)
且 { f '(2)=4+4a-b<=0 (2)

方法一：在aob平面内作直线 1-2a-b=0 和 4+4a-b=0，它们交于 B（-1/2，2），
可行域是 （1）的右侧、（2）的左侧。
设 t=a+b。作直线 a+b=0，并平移使之过可行域。可以看出，当直线过B时，t=a+b最小，
最小值为 2-1/2=3/2。

方法二：
由（1）得 2a+b>=1
由（2）得 4a-b<=-4
所以，a+b=5/6*(2a+b)-1/6*(4a-b)>=5/6*1+1/6*4=3/2。